Комбинаторные задачи

Комбинаторные задачи

1.   Катя, Маша и Ира играют с мячом. Каждая из них должна по одному разу бросить мяч в сторону каждой подруги. Сколько раз каждая из девочек должна бросать мяч? Сколько всего раз будет подбрасываться мяч? Опре­делите, сколько раз будет подбрасываться мяч, если в игре примут участие: четверо детей; пятеро детей.

2.   Даны три фасада и две крыши, имеющие одинаковую форму, но раскрашенные в различные цвета: фаса­ды — в желтый, синий и красный цвета, а крыши — в синий и красный цвета. Какие домики можно постро­ить? Сколько всего комбинаций?

3.   Даны три одинаковых по форме фасада домика: синий, желтый и красный — и три крыши: синяя, желтая и красная. Какие домики можно построить? Сколько всего комбинаций?

4.   Рисунки на флажках могут иметь вид круга, квадрата, треугольника или звезды, причем их можно раскра­сить в зеленый или красный цвет. Сколько всего мо­жет быть разных флажков?

5.   В школьной столовой на обед приготовили в качестве вторых блюд мясо, котлеты и рыбу. На сладкое — мо­роженое, фрукты и пирог. Можно выбрать одно второе блюдо и одно блюдо на десерт. Сколько существует раз­личных вариантов обеда?

6.   В школьной столовой на обед приготовили в качестве первых блюд суп с мясом и вегетарианский суп, на вто­рое — мясо, котлеты и рыбу, на сладкое — мороженое, фрукты и пирог. Сколько существует различных вари­антов обеда из трех блюд?

7.   Сколькими способами можно рассадить в ряд на стулья трех учеников? Выписать все возможные случаи.

8.   Сколькими способами могут четыре (пять) человек стать в ряд?

9. С разных сторон на холм поднимаются три тропинки и сходятся на вершине. Составьте множество маршру­тов, по которым можно подняться на холм и спустить­ся с него. Решите ту же задачу, если вверх и вниз надо идти по разным тропинкам.

10.    Из Акулово в Рыбницу ведут три дороги, а из Рыбни­цы в Китово — четыре дороги. Сколькими способами можно проехать из Акулово в Китово через Рыбницу?

11.    Слог называется открытым, если он начинается с со­гласной буквы, а заканчивается гласной. Сколько открытых двухбуквенных слогов можно написать, ис­пользуя буквы «а», «б», «в», «г», «е», «и», «о»? Выпи­шите эти слоги.

12.    Сколько различных вариантов костюмов из блузки и юб­ки можно составить, если имеется 4 блузки и 4 юбки?

13.    Когда Петя идет в школу, он иногда встречает одного или нескольких своих приятелей: Васю, Леню, Толю. Перечислить все возможные случаи, которые при этом могут быть.

14.    Записать все возможные двузначные числа, используя цифры 7 и 4.

15.    Миша запланировал купить: карандаш, линейку, блок­нот и тетрадь. Сегодня он купил только два разных предмета. Что мог купить Миша, если считать, что в ма­газине были все нужные ему учебные принадлежности?

16.    Четыре человека обменялись рукопожатиями. Сколь­ко было всего рукопожатий?

17.    Сколько существует двузначных чисел, в записи кото­рых отсутствует цифра 0?

18.    Записать все возможные трехзначные числа, которые можно составить из цифр 1 и 2.

19.    Выписать все возможные четные трехзначные числа, составленные из цифр 1 и 2.

20.    Записать все возможные двузначные числа, при запи­си которых используются цифры 2, 8 и 5.

21.    Сколько существует различных двузначных чисел, все цифры которых нечетные?

22.    Какие трехзначные числа можно записать с помощью цифр 3, 7 и 1 при условии, что в записи числа не должно быть одинаковых цифр? Сколько таких чисел?

23.    Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, если никакую цифру не использовать более одного раза? Сколько среди этих чисел будет четных? Сколько нечетных?

24.    В автомашине пять мест. Сколькими способами пять человек могут усесться в эту машину, если занять мес­то водителя могут только двое из них?

25.    В классе 5 одноместных парт. Сколькими способами можно рассадить на них двух (трех) вновь прибывших школьников?

26.    Вспомните басню И. Крылова «Квартет»:

Проказница Мартышка,

Осел,

Козел

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть Квартет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

«Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. —

Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так

сидите».

Сколькими различными способами могут попытаться сесть эти музыканты? Может ли это улучшить качест­во их игры?

27.  Мальчиков и девочек рассаживают в ряд на подряд
расположенные места, причем мальчики садятся на
нечетные места, а девочки — на четные. Сколькими
способами можно это сделать, если:

а)  на 6 мест рассаживают 3 мальчиков и 3 девочек;

б) на 10 мест рассаживают 5 мальчиков и 5 девочек?

28.    На пустую шашечную доску надо поместить две шаш­ки — черную и белую. Сколько различных положений могут они занимать на доске?

29.    Пусть номер автомобиля составляется из двух букв, за которыми следуют две цифры, например АВ-53. Сколь­ко разных номеров можно составить, если использо­вать 5 букв и 6 цифр?

30.    Номер автомобиля состоит из трех букв и четырех цифр. Сколько существует различных автомобиль­ных номеров (три буквы берутся из 29 букв русского алфавита)?

31.    Пусть вам нужно было сходить в библиотеку, сберега­тельный банк, на почту и отдать в ремонт ботинки. Для того чтобы выбрать кратчайший маршрут, необхо­димо рассмотреть все возможные варианты. Сколько существует вариантов пути, если библиотека, сберега­тельная касса, почта и сапожная мастерская располо­жены далеко друг от друга?

32.    Пусть вам нужно было сходить в библиотеку, сберега­тельный банк, на почту и отдать в ремонт ботинки. Для того чтобы выбрать кратчайший маршрут, необхо­димо рассмотреть все возможные варианты. Сколько существует разумных вариантов пути, если библиоте­ка и почта находятся рядом, но значительно удалены от сберегательной кассы и сапожной мастерской, рас­положенных далеко друг от друга?

33.    Среди пассажиров, едущих в вагоне, шло оживленное обсуждение четырех журналов. Оказалось, что каж­дый выписывает два журнала, причем каждая из возможных комбинаций двух журналов выписывает­ся одним человеком. Сколько человек было в этой группе?

34.    Имеется пять кубиков, которые отличаются друг от друга только цветом: 2 красных, 1 белый и 2 черных. Есть два ящика А и Б, причем в А помещается 2 куби­ка, а в Б — 3. Сколькими различными способами мож­но разместить эти кубики в ящиках А и Б?

35. Чтобы принести царю-батюшке молодильные яблоки, должен Иван-царевич найти единственный верный путь к волшебному саду. Встретил Иван-царевич на развилке трех дорог старого ворона и вот какие советы от него услышал:

1)    иди сейчас по правой тропинке;

2)    на следующей развилке не выбирай правую тро­пинку;

3)    на третьей развилке не ходи по левой тропинке.

Пролетавший мимо голубь шепнул Ивану-царевичу, что только один совет ворона верный и что обязательно надо пройти по тропинкам разных направлений. Наш герой выполнил задание и попал в волшебный сад. Ка­ким маршрутом он воспользовался?