Системы счисления

Системы счисления

1.Вы знакомы с римскими цифрами. Первые три из них — I, V, X. Их легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных ра­венств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переносить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?

а)   VII - V = XI;

б)  IX-V = VI;

в)   VI-IX =111;

г)   VIII-111 = X.

2.  Какие числа записаны римскими цифрами?

а)  MCMXCIX;

б)  CMLXXXVIII;

в)  MCXLVII.
Что это за числа?

3.  В некоторой непозиционной системе счисления цифры
обозначаются геометрическими фигурами. Ниже пред­ставлены некоторые числа этой системы счисления и
соответствующие им числа десятичной системы счис­ления:

4.   Трехзначное десятичное число оканчивается циф­рой 3. Если эту цифру сделать первой слева, то есть с нее будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найти исходное число.

5.   Шестизначное число оканчивается цифрой 4. Если эту цифру переставить из конца числа в начало, то есть приписать ее перед первой, не изменяя порядка осталь­ных пяти, то получится число, которое в четыре раза больше первоначального. Найти это число.

6.   Некогда был пруд, в центре которого рос один лист во­дяной лилии. Каждый день число таких листьев удва­ивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сосчитать, сколько листьев выросло к десято­му дню.

7.   Этот случай вполне мог иметь место во времена «золо­той лихорадки». На одном из приисков старатели были возмущены действиями Джо Макдоналда — хо­зяина салуна, принимавшего от них в уплату золотой песок. Очень уж необычными были гири, с помощью которых тот взвешивал золото: 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64 грамма. Джо утверждал, что с помощью такого на­бора гирь он может взвесить любую порцию золотого песка, не превышающую 100 граммов. Прав ли Джо Макдоналд? Какой наибольший вес можно измерить с помощью таких гирь? Как с помощью названных гирь набрать вес: а) 24 г; б) 49 г; в) 71 г; г) 106 г?

8.   Найти такой набор из 5 гирь, чтобы, располагая их на одной чаше весов, молено было бы взвесить любой груз до 31 кг включительно с точностью до 1 кг.

9.   Каким наименьшим числом гирь можно взвесить груз от 1 до 63 кг включительно с точностью до 1 кг, поме­щая гири только на одну чашку весов?

10. У одного путешественника не было денег, но была зо­лотая цепочка из семи звеньев. Хозяин гостиницы, к которому обратился путешественник с просьбой о ночлеге, согласился держать постояльца и установил плату: одно звено цепочки за одни сутки проживания. Какое одно звено достаточно распилить, чтобы путешествен­ник мог остановиться в гостинице на любой срок в пре­делах от 1 до 7 суток?

11.   Можно ли с помощью трех гирь (1, 3 и 9 кг) взвесить с точностью до 1 кг любой груз до 13 кг включительно, если гири можно располагать на обеих чашах весов, в том числе и на чаше с грузом?

12.   Кладовщик одного склада оказался в большом затруд­нении: заказанный комплект гирь для простых ча­шечных весов не прибыл к сроку, а на соседнем складе лишних гирь тоже не было. Тогда он решил подобрать несколько кусков железа разной массы и временно пользоваться ими как гирями. Ему удалось выбрать такие четыре «гири», с помощью которых можно было бы взвешивать с точностью до 100 г товар от 100 г до 4 кг. Какие массы имели эти «гири»?

13.   Чудесная таблица. Изобразим все числа от 1 до 15 в двоичной системе. Выпишем эти числа в занумеро­ванные четыре строки, придерживаясь следующего правила: в строку I с точностью до 1 кг записывать все числа, в двоичном изображении которых есть едини­ца первого разряда (сюда попадут все нечетные чис­ла); в строку II — все числа, у которых есть единица второго разряда; в строку III — все числа, имеющие единицу третьего разряда, и в строку IV — все числа, имеющие единицу четвертого разряда. Таблица будет иметь вид:

 

I	1	3	5	7	9	11	13	15
II	2	3	6	7	10	11	14	15
III	4	5	6	7	12	13	14	15
IV	8	9	10	11	12	13	14	15

Теперь можно кому-нибудь предложить задумать лю­бое число от 1 до 15 и назвать все строки таблицы, в которых оно записано. Пусть, к примеру, задуманное

число находится в строках I и III. Значит, задуманное число содержит единицы первого и третьего разрядов, а единиц второго и четвертого разрядов в нем нет. Следовательно, задумано число Ю1₂ = 5₁₀. Этот ответ можно дать, не глядя в таблицу.

Изобразить все числа от 1 до 31 в двоичной системе и заполнить соответствующую таблицу из пяти строк. Попробовать провести эту игру со своими друзьями.

14. Используя метод разностей, запишите следующие
числа:

а)  в восьмеричной системе счисления: 7, 9, 24, 35, 57, 64;

б) в пятеричной системе счисления: 9,13, 21, 36, 50, 57;

в)  в троичной системе счисления: 3, 6, 12, 25, 27, 29;

г)  в двоичной системе счисления: 2, 5, 7, 11, 15, 25.

15. Для записи больших десятичных чисел в других системах счисления надо данное число нацело разделить на
основание новой системы, частное опять разделить на
основание новой системы и так до тех пор, пока не по­
лучим частное, меньшее основания новой системы.
Воспользоваться этим правилом для перевода числа
2005 в следующие системы счисления:

а)  восьмеричную;

б) пятеричную;

в)  двоичную.

16. Задача-игра «Угадывание задуманного числа по от­
резкам». Один из учеников (ведущий) задумывает не­
которое трехзначное число, мысленно делит задуман­ное число пополам, полученную половину опять
пополам и т. д. Если число нечетное, то из него перед
делением вычитается единица. При каждом делении
ведущий чертит на доске отрезок, направленный вер­тикально, если делится нечетное число, и горизон­тально, если делится четное число. Как на основании
полученной фигуры безошибочно определить заду­
манное число?

17.    Какое минимальное основание имеет система счисле­ния, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определить десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

18.    Записать наибольшее двузначное число и определить его десятичный эквивалент для следующих систем счисления:

а)  восьмеричной;

б)  пятеричной;
в)троичной;

г) двоичной.

19.  Записать наименьшее трехзначное число и определите
его десятичный эквивалент для следующих систем
счисления:

а)  восьмеричной;

б)  пятеричной;
в)троичной;

г) двоичной.

20.    Упорядочить числа по убыванию. 143₆; 50₉; 1222₃; 1011₄; 110011₂; 123₈.