Уроки 72-73. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

Цель: использовать производную для анализа функций.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Напишите уравнение касательной к параболе f(х) = 2х2 - 4х + 7 в точке с абсциссойx0 = 4.

Ответ: а) у = 8x - 12; б) y = 12x - 25; в) y = 16х - 8; г) у = 2х - 3.

2. Найдите угол между касательными, проведенными из точки А(0; -6) к кривой f(x) = 2х2 + 2.

Ответ: a) arctg 6; б) π - arctg 8; в) π - 2 arctg 8; г) arctg 4.

Вариант 2

1. Напишите уравнение касательной к параболе f(x) = 3х2 + х - 4 в точке с абсциссой х0 = 3.

Ответ: a) y = 18x - 15; б) у = 12х - 21; в) y = 19x - 31; г) у = 6х - 7.

2. Найдите угол между касательными, проведенными из точки А(0; -2) к кривой f(x) = 3х2 +1.

Ответ: a) arctg 3; б) π - 2 arctg 6; в) π - arctg 6; г) arctg 5.

III. Изучение нового материала

Продолжим изучать применение производной к анализу функций и построению их графиков.

1. Исследование функций на монотонность

Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции (т. е. промежутков ее возрастания и убывания). Такой анализ легко выполнить с помощью производной. Сформулируем теоремы о возрастании и убывании функции.

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≥ 0 (причем равенство f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция у = f(х) возрастает на промежутке X.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≤ 0 (причем равенство f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция у = f(х) убывает на промежутке X.

Возрастающая функция, f'(x) ≥ 0

Убывающая функция, f'(x) ≤ 0

Пример 1

Исследуем на монотонность функцию f(х) = 3х5 + 2х3 + 4х.

Найдем производную функции: f'(x) = 15х4 + 6х2 + 4. Видно, что при всех значениях х производная f'(х) > 0. Тогда функция f(х) возрастает на всей числовой прямой.

Пример 2

Докажем, что функция f(х) = 3 cos 2x - 10х убывает на всей числовой оси.

Производная данной функции f'(x) = -6 sin 2x - 10. Определим знак этого выражения. В силу ограниченности функции синуса выполняется неравенство -1 ≤ sin 2x ≤ 1, тогда 6 ≥ -6 sin 2x ≥ -6 и -4 ≥ -6 sin 2х ≥ -16. Таким образом, при всех значениях х производнаяf'(x) < 0. Поэтому данная функция f(х) убывает на всей числовой оси.

Пример 3

Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(х) = 2х3 - 15х2 + 36х - 7. Построим график этой функции.

Найдем производную функции: f'(х) = 6х2 - 30х + 36 = 6(х2 - 5х + 6). Построим диаграмму знаков производной. Приравняем производную к нулю: 6(х2 - 5х + 6) = 0 - и найдем корни этого квадратного уравнения х1 = 2 и х2 = 3. Отметим их на числовой прямой и определим знаки производной. Видно, что на промежутках (-∞; 2]U[3; ∞) производная f(x) ≥ 0. Поэтому функция f(х) возрастает на промежутках (-∞; 2] и [3; ∞). На промежутке [2; 3] производная f'(х) ≤ 0. Следовательно, функция f(х) убывает на промежутке [2; 3].

Найдем значения функции в точках х = 2 и х = 3, а также в точке х = 0: f(0) = -7, f(2) = 21, f(3) = 12. Построим эти точки и учтем монотонность функции. Получим график данной функции.

Пример 4

При каких значениях параметра а функция f(х) = (а + 2)х3 - 3ах2 + 9ах - 2 убывает на числовой оси?

Найдем производную функции: f'(x) = 3(а + 2)х2 - 6ах + 9а = 3((а + 2)х2 - 2ах + 3а). Функция f(х) убывает на всей числовой оси, если ее производная f'(х) ≤ 0 при всех значениях х. Получим неравенство (а + 2)х2 - 2ах + 3а ≤ 0. Так как старший коэффициент а + 2 в неравенстве зависит от параметра а, то надо рассмотреть два случая.

1. Если а + 2 = 0 (т. е. а = -2), то неравенство становится линейным: 4х - 6 ≤ 0. Очевидно, что такое неравенство при всех значениях х не выполняется.

2. Если а + 2 ≠ 0 (т. е. а ≠ -2), то неравенство является квадратным. Оно выполняется при всех значениях х, если старший коэффициент а + 2 < 0 и дискриминант D = (-2а)2 -4(а + 2) · 3а = 4(а2 - 3а2 - 6а) = -8(а + 3а) ≤ 0. Получим систему неравенств  или  Решая эти неравенства, имеем:  откуда а ∈ (-∞; -3]. Итак, при а ∈ (-∞; -3] данная функция убывает на всей числовой оси.

Разумеется, понятие монотонности функции оказывается полезным и при исследовании корней уравнения.

Пример 5

При каких значениях параметра а уравнение  имеет три корня?

Построим график зависимости а(х). Найдем производную функции а'(х) = х2 + х - 6. Приравняем производную нулю и получим квадратное уравнение 0 = х2 + х - 6, корни которого х1 = -3 и х2 = 2. Отложим эти точки на числовой прямой и проставим знаки производной а'(х).

Видно, что функция а(х) возрастает на промежутках (-∞; -3] и [2; ∞) и убывает на промежутке [-3; 2]. Найдем значения  Построим эти точки и учтем монотонность функции. Получим график функции а(х). Очевидно, что при  данное уравнение имеет ровно три различных корня.

Отметим два момента, связанных с теоремами 1 и 2.

1) Рассматриваются только открытые промежутки X, т. е. интервал (а; b) или открытые лучи (-∞;а) и (а; +∞). Если функция определена на отрезке [а; b], то в точках х = а и х = b приращение Δх может быть только одного знака (при х = а Δх > 0, при х = b Δх < 0). В определении производной ограничений на знак приращения Δх нет.

2) Производная f'(x) может обращаться в нуль лишь в конечном числе точек промежутка X. В них функция у = f(х) или имеет минимум, или имеет максимум, или меняется направление кривизны графика функции. На вопрос, что будет, если на всем промежутке X выполняется тождество f'(x) = 0, отвечает следующая теорема.

Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется равенство f’(x) = 0, то функция у = f(х) постоянна на промежутке X.

2. Точки экстремума функции и их нахождение

Сначала введем необходимые определения и понятия.

Определение 1. Точку х = х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(х) ≥f(х0).

Определение 2. Точку х = х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(х) ≤f(х0).

На приведенных рисунках функции имеют минимум А(-1; -1) и максимум В(-2; 2,5). Последим за абсциссами этих точек. Сначала рассмотрим точку А. Если рассмотреть окрестность точки х0 = 1 (например, интервал (0,5; 1,5)), то для всех точек этой окрестности выполнено неравенство f(х) ≥ f(х0) = -1. Тогда точка х0 = 1 - точка минимума. Обратимся к точке В. Если рассмотреть окрестность точки х0 = -2 (например, интервал (-3; -1)), то для всех точек этой окрестности выполнено неравенство f(х) ≤ f(х0) = 2,5. Поэтому точка х0 = -2 - точка максимума.

Значение функции в точке максимума обозначают «уmах» (при этом максимум носит локальный характер). Наибольшее значение функции в области определения обозначают «унаиб» (глобальный характер). На приведенных рисунках уmах = 2,5,_унаиб не достигается.

Если функция у = f(х) достигает в точке х0 максимума, то наименование «точка максимума» используют как для значения x = x0, так и для точки (x0; f(х0)). Полностью аналогичная ситуация и терминология относятся к минимуму функции.

Точки максимума и минимума функции называют общим термином - точки экстремума.

На рисунках видно, что экстремум достигается в точке x0, где производная f'(x0) = 0 (рис. а), или производная не существует (рис. б). Это же подтверждает следующая теорема.

Теорема 4. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке x = x0, то в этой точке производная функции или равна нулю, или не существует.

В некоторых учебниках внутренние точки области определения функции, в которых производная функция равна нулю, называют стационарными, а внутренние точки области определения, в которых функция непрерывна, но производная не существует, - критическими. В других учебниках эти точки не различают и называют критическими.

Заметим, что теорема 4 является только необходимым (но не достаточным) условием экстремума: из того, что производная f'(x) в точке x0 обращается в нуль, не обязательно следует, что в этой точке функция f(x) имеет экстремум. Например, функция f(x) = x5имеет производную f'(x) = 5x4 , которая обращается в нуль в точке x0 = 0.

Однако экстремума в этой точке функция f(х) не имеет (происходит изменение кривизны кривой).

Теперь рассмотрим критические точки, в которых производная не существует. Для функции  производная  которая не существует в точке х0 = 0. Но эта точка не является критической, так как это не внутренняя точка области определения.

Для функций f(х) = -|х| и f(х) = |х| - 2х точка х0 = 0 является внутренней точкой области определения, и в точке хо производная этих функций не существует. Однако функция f(x) = -|х| в точке х0 имеет максимум, функция f(х) = |х| - 2х в точке х0 экстремума не имеет.

После приведенных примеров необходимо рассмотреть достаточные условия экстремума.

Теорема 5. Пусть функция у = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда:

а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х0 выполняется неравенство f'(x) < 0, а при х > х0 - неравенство f(x) > 0, то х = х0 - точка минимума функции у = f(х);

б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х0 выполняется неравенство f’(x) > 0, а при х > х0 - неравенство f’(x) < 0, то х = х0 - точка максимума функции у = f(х);

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки хо знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет (происходит изменение кривизны графика функции).

Для иллюстрации и запоминания теоремы 5 приведем диаграмму.

Для исследования непрерывной функции у = f(х) на монотонность и экстремумы приведем алгоритм.

1. Найти производную f'(x).

2. Найти стационарные (f’(x) = 0) и критические (f'(x) не существует) точки функции у = f(x).

3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Сделать выводы о монотонности и точках экстремума функции.

Проиллюстрируем этот алгоритм примерами.

Пример 6

Найдем экстремумы функции 

Найдем производную функции:  Приравняем производную нулю: 6(х2 + х - 2) = 0, решим это квадратное уравнение и найдем стационарные точки функции x1 = -2 и х2 = 1. Отметим стационарные точки на координатной оси и построим диаграмму знаков производной f'(x).

Видно, что в точке х = -2 знак производной меняется с минуса на плюс. Поэтому критическая точка х = -2 - точка минимума. Найдем минимум функции:  В точке x = 1 знак производной меняется с плюса на минус. Поэтому критическая точка х = 1 - точка максимума. Найдем максимум функции: 

Построим экстремумы функции и нарисуем график данной функции (рисунок приведен с искажением масштаба).

Пример 7

Найдем множество значений функции 

Данная функция определена на всей числовой оси. Вычислим экстремумы этой функции. Найдем производную функции:   Приравняем производную нулю, получим уравнение 1 - x2 = 0 и найдем стационарные точки функции х = ±1.

Отметим стационарные точки на координатной оси и построим диаграмму знаков производной f'(x). Видно, что в точке х = -1 знак производной меняется с минуса на плюс. Поэтому x = -1 – точка минимума и  В точке x = 1 знак производной меняется с плюса на минус. Поэтому это точка максимума и  Отметим эти точки, а также точку пересечения с осью ординат. Запишем функцию в виде  Видно, что при x → ∞ функция f(x) → 1. Поэтому у = 1 - горизонтальная асимптота графика данной функции.

Построим график этой функции. Получим, что значения функции  Поэтому множество значений функции 

IV. Контрольные вопросы

1. Определение возрастающей (убывающей) функции.

2. Теорема о возрастании (убывании) функции.

3. Точка минимума (максимума) функции.

4. Теорема об экстремуме функции.

5. Стационарные и критические точки производной.

6. Достаточные условия экстремума функции.

7. Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.

V. Задание  на уроках

§ 30, № 1 (а); 2 (б); 3 (а, б); 4; 8 (в, г); 9 (а, б); 13 (в, г); 16 (а, б); 17 (в); 18 (а); 19 (в); 23 (а); 24 (а); 26 (в, г); 30 (а); 31 (б); 32 (а).

VI. Задание на дом

§ 30, № 1 (б); 2 (а); 3 (в, г); 5; 8 (а, б); 9 (в, г); 13 (а, б); 16 (в, г); 17 (а); 18 (в); 19 (г); 23 (б); 24 (б); 26 (а, б); 30 (б); 31 (а); 32 (б).

VII. Творческое задание

Найдите стационарные точки функции:

Ответ: -1/11.

Ответ: -3; 4.

Ответ: 

Ответ: 

Ответ: 

VIII. Подведение итогов уроков