Уроки 54-55. Системы тригонометрических уравнений (факультативное занятие)

Цель: рассмотреть наиболее типичные системы тригонометрических уравнений и способы их решения.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Решите неравенство:

Вариант 2

Решите неравенство:

III. Изучение нового материала

На экзаменах системы тригонометрических уравнений встречаются гораздо реже тригонометрических уравнений и неравенств. Четкой классификации систем тригонометрических уравнений не существует. Поэтому условно разобьем их на группы и рассмотрим способы решения этих задач.

1. Простейшие системы уравнений

К ним отнесем системы, в которых или одно из уравнений является линейным, или уравнения системы могут быть решены независимо друг от друга.

Пример 1

Решим систему уравнений 

Так как первое уравнение является линейным, то выразим из него переменную  и подставим во второе уравнение:  Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество. Получим уравнение  или  Введем новую переменную t = sin у. Имеем квадратное уравнение 3t2 - 7t + 2 = 0, корни которого t1 = 1/3 и t2 = 2 (не подходит, так как sin у ≤ 1). Вернемся к старой неизвестной и получим уравнение sin y = 1/3, решение которого  Теперь легко найти неизвестную:  Итак, система уравнений имеет решения  где n ∈ Z.

Пример 2

Решим систему уравнений 

Уравнения системы независимы. Поэтому можно записать решения каждого уравнения. Получим:  Почленно сложим и вычтем уравнения этой системы линейных уравнений и найдем:  откуда 

Обратим внимание на то, что в силу независимости уравнений при нахождении х - у и х + у должны быть указаны разные целые числа n и k. Если бы вместо k было также поставлено n, то решения имели бы вид:  При этом было бы потеряно бесконечное множество решений и, кроме того, возникла бы связь между переменными xи у: х = 3у (чего нет на самом деле). Например, легко проверить, что данная система имеет решение х = 5π и у = п (в соответствии с полученными формулами), которое при k= n найти невозможно. Поэтому будьте внимательнее.

2. Системы вида 

Такие системы приводятся к простейшим при сложении и вычитании уравнений. При этом получим системы  или  Отметим очевидное ограничение:     и  Само же решение подобных систем сложностей не представляет.

Пример 3

Решим систему уравнений 

Преобразуем сначала второе уравнение системы, используя равенство  Получим:  Подставим в числитель этой дроби первое уравнение: и выразим  Теперь имеем систему уравнений  Сложим и вычтем эти уравнения. Имеем:  или  Запишем решения этой простейшей системы:  Складывая и     вычитая эти линейные уравнения, находим: 

3. Системы вида 

Такие системы можно рассматривать как простейшие и решать их соответствующим образом. Однако есть и другой способ решения: преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение и использовать оставшееся уравнение.

Пример 4

Решим систему уравнений 

Сначала преобразуем первое уравнение, используя формулу для суммы синусов углов. Получим:  Используя второе уравнение, имеем:  откуда  Выпишем решения этого уравнения:  С учетом второго уравнения данной системы получаем систему линейных уравнений  Из этой системы находим  Такие решения удобно записать в более рациональном виде. Для верхних знаков имеем:  для нижних знаков - 

4. Системы вида 

Прежде всего необходимо получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Для этого, например, выразим из одного уравнения sin у, из другого - cos у. Возведем в квадрат эти соотношения и сложим. Тогда получается тригонометрическое уравнение, содержащее неизвестную х. Решаем такое уравнение. Затем, используя любое уравнение данной системы, получаем уравнение для нахождения неизвестной у.

Пример 5

Решим систему уравнений 

Запишем систему в виде    Возведем в квадрат каждое уравнение системы и получим:  Сложим уравнения этой системы:  или  Используя основное тригонометрическое тождество, запишем уравнение в виде  или   Решения этого уравнения cos x = 1/2 (тогда ) и cos x = 1/4 (откуда                                                  ),    где n, k ∈ Z. Учитывая связь между неизвестными cos y = 1 – 3 cos x, получим: для cos x = 1/2 cos y = -1/2; дляcos x = 1/4 cos y = 1/4. Необходимо помнить, что при решении системы уравнений проводилось возведение в квадрат и эта операция могла привести к появлению посторонних корней. Поэтому надо учесть первое уравнение данной системы, из которого следует, что величины sin x и sin у должны быть одного знака.

С учетом этого получим решения данной системы уравнений  и  где n, m, k, l ∈ Z. При этом для неизвестных х и у одновременно выбирают или верхние, или нижние знаки.

В частном случае  система может быть решена преобразованием суммы (или разности) тригонометрических функций в произведение и последующим почленным делением уравнений друг на друга.

Пример 6

Решим систему уравнений 

В каждом уравнении преобразуем сумму и разность функций в произведение и разделим каждое уравнение на 2. Получим:  Так как ни один множитель в левых частях уравнений не равен нулю, то почленно разделим уравнения друг на друга (например, второе на первое). Получим:  откуда  Подставим найденное значение  например, в первое уравнение:  Учтем, что  Тогда  откуда 

Получили систему линейных уравнений   Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем  и  где n,k  ∈ Z.

5. Системы, решаемые с помощью замены неизвестных

Если система содержит только две тригонометрические функции или приводится к такому виду, то удобно использовать замену неизвестных.

Пример 7

Решим систему уравнений 

Так как в данную систему входят только две тригонометрические функции, то введем новые переменные а = tg х и b = sin у. Получим систему алгебраических уравнений  Из первого уравнения выразим                      а = b + 3 и подставим во второе:  или  Корни этого квадратного уравнения b1 = 1 и   b2= -4. Соответствующие значения а1 = 4 и а2 = -1. Вернемся к старым неизвестным. Получим две системы простейших тригонометрических уравнений:

а)  ее решение  где n, k ∈ Z.

б)   решений не имеет, так как sin у ≥ -1.

Пример 8

Решим систему уравнений 

Преобразуем второе уравнение системы так, чтобы оно содержало только функции sinх и cos у. Для этого используем формулы понижения степени. Получим:  (откуда ) и   (тогда ). Второе уравнение системы имеет вид:  или  Получили систему тригонометрических уравнений  Введем новые переменные a = sin х и b= cos у. Имеем симметричную систему уравнений  единственное решение которой a = b = 1/2. Вернемся к старым неизвестным и получим простейшую систему тригонометрических уравнений  решение которой  где n, k ∈ Z.

6. Системы, для которых важны особенности уравнений

Практически при решении любой системы уравнений используются те или иные ее особенности. В частности, один из наиболее общих приемов решения системы - тождественные преобразования, позволяющие получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Выбор преобразований, конечно, определяется спецификой уравнений системы.

Пример 9

Решим систему 

Обратим внимание на левые части уравнений, например на  Используя формулы приведения, сделаем из нее функцию с аргументом π/4 + х. Получим:  Тогда система уравнений имеет вид:  Чтобы исключить переменную х, почленно умножим уравнения и получим:  или 1 = sin3 2у, откуда sin 2у = 1. Находим  и  Удобно отдельно рассмотреть случаи четных и нечетных значений n. Для четных n (n = 2k, где k ∈ Z)  Тогда из первого уравнения данной системы получим:  где m ∈ Z. Для нечетных  Тогда из первого уравнения имеем:  Итак, данная система имеет решения 

Как и в случае уравнений, достаточно часто встречаются системы уравнений, в которых существенную роль играет ограниченность функций синуса и косинуса.

Пример 10

Решим систему уравнений 

Прежде всего преобразуем первое уравнение системы:  или  или  или  или Учитывая ограниченность функции синуса, видим, что левая часть уравнения не меньше 2, а правая часть не больше 2. Поэтому такое уравнение равносильно условиям sin2 2х = 1 и sin2 у = 1.

Второе уравнение системы запишем в виде sin2 у = 1 - cos2 z или sin2 у = sin2 z, и тогда sin2 z = 1. Получили систему простейших тригонометрических уравнений  Используя формулу понижения степени, запишем систему в виде  или  тогда  

Разумеется, при решении других систем тригонометрических уравнений также необходимо обращать внимание на особенности этих уравнений.