Урок 5. Преобразования графиков с модулями (факультативное занятие)

Цель: освоить основные навыки преобразования графиков с модулями.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Как, зная график функции у = f(х), построить график функции у = f(-х) + 2?

2. Постройте график функции:

Вариант 2

1. Как, зная график функции у = f(х), построить график функции у = -f(х) - 1?

2. Постройте график функции:

III. Изучение нового материала

Из материала предыдущего урока видно, что способы преобразования графиков чрезвычайно полезны при их построении. Поэтому рассмотрим также основные способы преобразования графиков, содержащих модули. Эти способы являются универсальными и пригодны для любых функций. Для простоты построения будем рассматривать кусочно-линейную функцию f(х) с областью определения D(f), график которой представлен на рисунке. Рассмотрим три стандартных преобразования графиков с модулями.

1) Построение графика функции у = |f(x)|

f/(x), если Дх)>0,

По определению модуля получим:  Это означает, что для построения графика функции у = |f(x)| надо сохранить часть графика функции у = f(x), для которой у ≥ 0. Ту часть графика функции у = f(х), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Построение графика функции у = f(|x|)

Г/О), если Дх)>0,

Раскроем модуль и получим:  Поэтому для построения графика функции у = f(|x|) надо сохранить часть графика функции у = f(х), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.

3) Построение графика уравнения |у| = f(x)

По определению модуля имеем, что при f(х) ≥ 0 надо построить графики двух функций: у = f(х) и у = -f(х). Это означает, что для построения графика уравнения |у| =f(х) надо сохранить часть графика функции у = f(х), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.

Заметим, что зависимость |у| = f(х) не задает функцию, т. е. при х ∈ (-2,6; 1,4) каждому значению х соответствуют два значения у. Поэтому на рисунке представлен именно график уравнения |у| = f(х).

Используем рассмотренные способы преобразования графиков с модулями для построения графиков более сложных функций и уравнений.

Пример 1

Построим график функции 

Выделим в этой функции целую часть  Такой график получается при смещении графика функции у = -1/x на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Графиком данной функции является гипербола.

Пример 2

Построим график функции 

В соответствии со способом 1 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Ту часть графика, для которой у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Пример 3

Построим график функции 

Используя способ 2, сохраним часть графика из примера 1, для которой х ≥ 0. Эту сохраненную часть, кроме того, зеркально отразим влево относительно оси ординат. Получим график функции, симметричный относительно оси ординат.

Пример 4

Построим график уравнения 

В соответствии со способом 3 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Кроме того, эту сохраненную часть симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс. Получим график данного уравнения.

Разумеется, рассмотренные способы преобразования графиков можно использовать и совместно.

Пример 5

Построим график функции 

Используем график функции  построенный в примере 3. Чтобы построить данный график, сохраним те части графика 3, для которых у ≥ 0. Те части графика 3, для которых у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

В тех случаях, когда модули входят в зависимость иным образом (чем в способах 1-3), необходимо эти модули раскрыть.

Пример 6

Построим график функции 

Выражения х - 1 и x + 2, входящие под знаки модулей, меняют свои знаки в точках х = 1 и x = -2 соответственно. Отметим эти точки на координатной прямой. Они разбивают ее на три интервала. Используя определения модуля, раскроем модули в каждом промежутке.

Получим:

1. При 

2. При 

3. При 

Построим графики этих функций, учитывая интервалы для переменной х, в которых раскрывались знаки модуля. Получим ломаную прямую.

Достаточно часто при построении графиков уравнений с модулями для их раскрытия используют координатную плоскость. Поясним это следующим примером.

Пример 7

Построим график уравнения 

Выражение у - х меняет свой знак на прямой у = х. Построим эту прямую - биссектрису первого и третьего координатных углов. Эта прямая разбивает точки плоскости на две области: 1 - точки, расположенные над прямой у – х; 2 - точки, расположенные под этой прямой. Раскроем модуль в таких областях. В области 1 возьмем, например, контрольную точку (0; 5). Видим, что для этой точки выражение у - х > 0. Раскрывая модуль, получим: у - х + у + х = 4 или y = 2. Строим такую прямую в пределах первой области. Очевидно, в области 2 выражение у - х < 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

IV. Контрольные вопросы

1. Как, используя график функции у = f(х), построить график функции у = |f(х)|?

2. С помощью графика функции у = f(х) постройте график функции y = f(|x|).

3. Как с помощью графика функции у = f(x) построить график уравнения |у| = f(х)?

V. Задание  на уроке

§ 1, № 12 (а, б); 15 (а, в).

VI.  Задание на дом

§ 1, № 12 (в, г); 15 (б, г).

VII. Творческие задания

1. Постройте график линейной функции и уравнения:

2. Постройте график квадратичной функции и уравнения:

3. Постройте график дробно-линейной функции и уравнения:

4. Постройте график функции, уравнения, неравенства:

VIII. Подведение итогов урока