Простейшие тригонометрические уравнения и их решения

Преподаватель Бурковская Нина Дмитриевна

Тема программы: 4. Тригонометрические функции -24 часа.
Тема урока: Простейшие тригонометрические уравнения и их решения
Цель урока: обучающая: формировать навыки решения простейших тригонометрических уравнений sinx=a и cosx=a; tgx=a; ctgx=a.
развивающая: развивать умения анализировать, сравнивать, строить графики , опираясь на ранее доказанные свойства;
воспитывающая: формировать устойчивый интерес к предмету, коммуникативные умения.
Тип урока: формирования зун.
Методы ведения: лекция – практика.
Оборудование урока презентация
ХОД УРОКА:
Организационный момент – 1 – 2 мин.
Приветствие учащихся.
Отметить отсутствующих.
II. Опрос по домашнему заданию
1. Обратные тригонометрические функции
) - В каком промежутке находится arccos a ? Ответ: [0;π]
- В каком промежутке находится значение а? Ответ: [-1;1]
- В каком промежутке находится arcsin a ? Ответ: [-π/2;π/2]
- В каком промежутке находится значение а? Ответ: [-1;1]
- В каком промежутке находится arctg a? Ответ: (- ; )
- В каком промежутке находится arcctg a? Ответ: (0;π).
2. Значение обратных тригонометрических функций
III. Объяснение нового материала. Краткий конспект.
Определение: Уравнения вида Т(х)=а, где Т(х) – некоторая тригонометрическая функция, называются простейшими тригонометрическими уравнениями
Выведем формулы для решения простейших тригонометрических
уравнений.
Начнем с рассмотрения уравнения sin х =а, где -1 ≤ а ≤ 1. По определению, sin х – это ордината такой точки числовой окружности, которая соответствует числу х. На числовой окружности есть две симметричные друг другу относительно ОУ точки M и N, ординаты которых равны а. (см. рис.1) Если а=1 или а=-1, то эти точки сливаются в одну (рис.2)


Рис. 1



Одно из чисел, которому на числовой окружности соответствует точка M, есть arcsin а; поэтому все числа, которым соответствует точка M, имеют вид arcsin а + 2πk, k Z.
Точка N также соответствует бесконечному множеству чисел. Из равенства sin (π-x)=sin x видно, что одно из чисел этого множества равно π- arcsin а, а поэтому все числа множества имеют вид
π- arcsin а + 2πk= - arcsin а + (2k + 1)π, k Z.
Итак, множество решений уравнения sin х = а есть объединение двух множеств:
arcsin а + 2πk, k Z. (1)
π- arcsin а + 2πk= - arcsin а + (2k + 1)π, k Z. (2)
Заметим, что формулы (1) и (2) можно объединить в одну:
Х = arcsin а + πn, n Z. – общий вид решения
уравнения вида sin х =а (3)
Действительно, при четном n (n=2k) из формулы (3) получается
формула (1), а при нечетном n (n=2k + 1) - формула (2).
Частные случаи решения уравнения sin х = а
sin х = 1 х= + 2 πn, n Z.
sin х = - 1 х= - + 2 πn, n Z.
sin х = 0 х= πn, n Z.

Рассмотрим , далее, уравнение cos x =а, где -1 ≤ а ≤ 1. По определению, cos x – это абсцисса такой точки числовой окружности, которая соответствует числу х. На числовой окружности есть две точки А и В, абсциссы которых равны а.




Эти точки симметричны относительно оси абсцисс, и поэтому величины дуг АС и ВС равны по модулю, но противоположны по знаку . Отсюда следует, что точка А соответствует числам вида arсcos a + 2πk, k Z, а точка В – числам вида - arсcos a + 2πk, k Z. Поэтому множество решений уравнения cos x =а имеет вид
Х = ± arсcos a + 2πn, n Z. –общий вид решения
уравнения вида cos x =а. (4)
Частные случаи решения уравнения cos х = а
cos x=1 х = 2πn, n Z.
cos x=-1 х = π + 2πn, n Z.
cos x=0 х = + πn, n Z.
Задача 1: Решить уравнение sin x=

Ординату, равную , имеют две точки единичной
окружности Х1 и Х2 (рис 4), где Х1= , Х2 = .
Рис. 4.
Следовательно, все корни уравнения sin x= можно найти по формуле
х= + πn, n Z.

Задача 2: Решить уравнение cos x= -
Абсциссу, равную - , имеют две точки
окружности Х1 и Х2 (рис 5).
Так как - = cos ,
то угол Х1= , Х2 = - . .
Следовательно, все корни уравнения cos x= - можно найти по формуле
х= ± + 2πn, n Z.
Рассмотрим уравнение tg x=a. Мы знаем, что tg x= , т.е. tg x равен отношению ординаты точки М(х) числовой окружности к её абсциссе. Поэтому сначала найдем точки окружности, для которых Y/X =a. Эти точки лежат на пересечении окружности с прямой у= ах. Мы получаем две диаметрально противоположные точки M и N, одна из которых (М) лежит на полуокружности DAB, а вторая (N)- на полуокружности BCD Точка М соответствует числам вида arctg a+2πk, k Z .
Поскольку длина дуги МСN равна π, точка N
соответствует числам вида arctg a+ π+ 2πk, k Z .
Эти формулы можно объединить в одну:
arctg a+ πn.

Итак, множество решений уравнения tg x=a имеет вид
х= arctg a+ πn, n Z
Точно так же для уравнения сtg x=a получаем
х= arcсtg a+ πn, n Z
Частные случаи решения уравнений tg х = а и ctg х=а.
ctg x =-1 tg x =0 ctg x =0
x= Z x= πn, n Z x= Z
Закрепление нового материала: № 98,100
Задание на дом §9, №99
Литература: А.Е. Абылкасымова и др. Алгебра и начала анализа 10, 11
классы. Дидактический материал по алгебре и начала анализа для 10, 11 класов.