12. Измерение величин углов

Для измерения величин углов поступают так же, как и в случае измерения длин отрезков.

Сначала выбирают угол, принимаемый за единицу измерения - единичный угол. Обычно такой угол составляет одну сто восьмидеся­тую часть развёрнутого угла. Считают, что величина этого угла равна одному градусу, и обозначают 1 ⁰.

Затем для измерения величины данного угла ЛОВ от луча ОА последовательно откладывают единичный угол и находят число п, по­казывающее, сколько раз он укладывается в данном угле. Если при этом луч последнего единичного угла совпадет с лучом ОВ, то процесс измерения считается законченным и полученное число градусов п бу­дет величиной угла А ОВ, обозначаетсяААОВ = п°. Если же луч ОС последнего единичного угла лежит между лучами ОА и ОВ, то единич­ный угол разбивают на 60 равных частей. Величину одной такой части называют одной минутой и обозначают Г. Затем последовательно от­кладывают от луча ОС угол, равный одной минуте, и находят число т, показывающее, сколько раз этот угол целиком укладывается в углеСОВ. Если при этом луч последнего угла совпадет с лучом ОВ, то про­цесс измерения считается законченным и величина п°т\ пока­зывающая сколько раз в данном угле уклад ываются угол в 1° и угол в 1', будет величиной данного угла. Если же последний луч лежит между лучами ОС и ОВ, то угол в одну минуту делят на 60 рав­ных частей (величину одной такой части считают равной одной секун­де и обозначают Г) и повторяют процедуру измерения.

Таким образом, градусная величина угла показывает, сколько раз угол в один градус и его части укладываются в этом угле.

Градусная величина угла удовлетворяет следующим свойствам.

Свойство 1. Градусные величины равных углов равны.

Свойство 2. Градусная величина суммы углов равна сумме их градусных величин.

Градусную величину угла обычно обозначают так же, как и сам угол. Например, запись Z.AOB = 30° означает, что величина углаАОВ равна 30°. Говорят также, что угол АОВ равен 30°. Иногда градус­ную величину угла обозначают строчными греческими буквами, например, ф, ф и т. д.

Непосредственно из определений следует, что прямой угол ра­вен 90°. Острый угол меньше 90°, а тупой угол больше 90°, но меньше 180°.

Для измерения величин углов применяют различные измери­тельные инструменты, простейшим из которых является известный вам транспортир (рис. 51).

На рисунке 12.1 градусные величины углов ЛОВ, АОС и AOD равны соответственно 60°, 90° и 120°.

Вопросы

1.        Что принимается за единицу измерения углов?

2.        Что такое градус?

3.        Как измеряется градусная величина угла?

4.        Какие свойства выполняются для градусных величин углов?

Задачи

1.       Найдите градусную величину угла (рис. 12.2): а) АОС  б)      АОВ- в) AOD, г) АОЕ- д) ВОD, е) ВОС, ж) ВОЕ.

2.        Найдите величины углов АОВ, АОС, AOD, ВОС, BOD, COD, изображённых на рисунке 12.3.

3.        С помощью транспортира постройте углы, величиной 10°, 30°,70°,100°,150°.

4.        На клетчатой бумаге изобразите луч АВ, как показано на ри­сунке 12.4. От луча AS отложите угол ВАС, равный: а) 45°; 6) 90°

5.              На клетчатой бумаге изобразите углы, как показано на рисун­ке 12.5. Оцените "на глаз" их градусную величину. Проверьте ваши оценки, измерив углы с помощью транспортира.

6.        Луч ОС лежит внутри угла ЛОВ, равного 60°. Найдите угол АОС, если он на 30° больше угла В ОС.

7.        Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 45°. Найдите угол АОС, если он в два раза больше угла ВОС.

8.        Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 120°. Найдите угол АОС, если он на 30° меньше угла 50С.

9.        Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 120°. Найдите угол ВОС, если он в три раз а больше угла А ОС.

10.    Некоторый угол равен 38°. Чему равен смежный с ним угол?

11.    Найдите градусные величины двух смежных углов, если один из них в два раза больше другого.

12.    Найдите градусные величины двух смежных углов, если:

а)   один из них на 30° больше другого; б) их разность равна 40°;

в)    один из них в четыре раза меньше другого; г) они равны.

13.    Найдите градусные величины двух смежных углов, если они относятся как: а) 2 : 3; б) 3 : 7; в) 11 : 25; г) 22 : 23.

14.    Общей частью двух углов АОВ и СОД величиной 60° и 90°, является угол ВОС, величиной 30° (рис. 12.6). Найдите угол AOD.

15.            Чему равен угол между биссектрисами: а) вертикальных уг­лов; б) смежных углов?