8. Полуплоскость

Проведём на плоскости какую-нибудь прямую а. Она разобьёт плоскость на две части. На рисунке 8.1 точки А и В принадлежат одной из этих частей, отрезок АВ не пересекает прямую. В этом случае гово­рят также, что точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Точки В и С принадлежат разным частям плоскости, отрезок ВС пересекает прямую а. В этом случае говорят также, что точки В и С лежат по разные стороны от прямой а.

Следующее свойство является аксиомой взаимного располо­жения точек на плоскости относительно данной прямой.

• Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две части. При этом если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, соединяющий эти точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.

Часть плоскости, состоящая из точек данной прямой и точек, лежащих по одну сторону от этой прямой, называется полуплоско­стью (рис. 8.2).

Вопросы

Задачи

1. Изобразите прямую/? и точки А, В, С, D, Е, Е такие, что А, Е принадлежат данной прямой, а остальные ей не принадлежат, причём D и У лежат в разных полуплоскостях, В и С - в одной полуплоскости, и отрезок BD пересекает прямую р.

2.        Даны прямая и четыре точки А, В, С, D, не принадлежащие этой прямой а. Пересекает ли эту прямую отрезок AD, если: а) отрезки АВ, ВС и CD пересекают прямую а\ б) отрезки АС и ВС пересекают прямую а, а отрезок BD не пересекает; в) отрезки АВ и CD пересекают прямую а, а отрезок ВС не пересекает; г) отрезки АВ и CD не пересе­кают прямую а, а отрезок ВС пересекает; д) отрезки АВ, ВС и CD не пересекают прямую д; е) отрезки АС, ВС и BD пересекают прямую? Изобразите данные ситуации.

3.        Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полуплоско­сти, а две другие - в другой полуплоскости относительно этой прямой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков: а) пересека­ет прямую; 6) не пересекает прямую? Сделайте соответствующий ри­сунок.

4.        Изобразите две пересекающиеся прямые. На сколько частей они разбивают плоскость?

5.        Изобразите три прямые, пересекающиеся в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

6.        Изобразите четыре прямые, пересекающиеся в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

7.        На сколько частей разбивают плоскость п прямых, пересека­ющихся в одной точке?

8.        Изобразите три попарно пересекающиеся прямые, не пересе­кающиеся в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

9.        Изобразите четыре попарно пересекающиеся прямые, ника­кие три из которых не пересекаются в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

10*. На сколько частей разбивают плоскость п попарно пересе­кающихся прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке?