2. Основные понятия геометрии

Представление о геометрических фигурах дают окружающие нас объекты. Однако, в отличие от реальных объектов, геометрические фигуры идеальны.

Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т. е. таких, размерами которых можно пренебречь. Древнегреческий учёный Евклид, впервые давший научное изложение геометрии, в своей книге "Начала" определял точку как то, что не имеет частей.

Точки изображаются остро отточенным карандашом или ручкой на листе бумаги, мелом на доске и т. п. Однако изображение точки только приближённое, потому что точка, нарисованная карандашом, всегда имеет хоть и очень маленькие, но ненулевые размеры, а геометрическая точка размеров не имеет.

Точки обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С,...,А₁,В₂,С₃,...,А',В",С"'

Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света.

Евклид определял прямую как длину без ширины.

Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки. Хотя изображения прямых ограничены, их следует представлять себе неограниченно продолженными в обе стороны. При этом цвет не имеет значения для изображения.

Прямые обозначаются строчными латинскими буквами а, b, с а₁, b₂, c_3, а' ,b", с'", ... , или двумя прописными латинскими

буквами АВ, CD,... A₁B_1, С2D2....... А'В' ,C''D'',....

Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т. п.

Точка может принадлежать данной прямой, в этом случае говорят также, что прямая проходит через точку, а может и не принадлежать ей, в этом случае говорят,что

прямая не проходит через точку (рис. 2.1).

В качестве аксиомы принимается следующее свойство.

• Через любые две точки проходит единственная прямая.

Вопросы

1.                    Идеализацией каких объектов является точка?
2.                    Как определял точку Евклид?
3.                    Как изображаются точки?
4.                    Как обозначаются точки?
5.                    Идеализацией каких объектов является прямая?
6.                    Как определял прямую Евклид ?
7.                    Как изображаются прямые?
8.                    Как обозначаются прямые ?
9.                    В чём заключается одно из основных свойств прямой?
10.                Как могут располагаться относительно друг друга точка и прямая?
11.                Сколько общих точек могут иметь две прямые?
12.                Идеализацией каких объектов является плоскость?

Задачи

1. Изобразите прямую и точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.

2°. Пусть точки А, В, С принадлежат одной прямой и точки В, С, D принадлежат одной прямой. Что можно сказать о всех точках А, В, С, D?

3. Изобразите три точки, не принадлежащие одной прямой. Проведите прямые, проходящие через различные пары из трёх данных точек. Сколько всего таких прямых?

4. Изобразите: а) четыре точки; б) пять точек, в) шесть точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой (рис. 2.2). Проведите прямые, проходящие через различные пары из этих точек. Сколько всего таких прямых?

5*. Сколько прямых можно провести через различные пары из п точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?