Уроки 80-81. Зачетная работа по теме «Производная»

Цель: проверить знания учащихся по вариантам одинаковой сложности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Характеристика зачетной работы

Так как эта работа является зачетной, то в нее не включены принципиально новые задачи. Поэтому разбору заданий работы отдельного урока можно и не посвящать (решения задач могут быть вывешены на стенде). Для стендового размещения разбор вариантов приводится.

III. Варианты зачетной работы

Вариант 1

А

1. Найдите производную функции:

2. Решите неравенство f’(x) = g(x), если  и 

3. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(х) = х2 + 2х - 8 в точке с абсциссой x0 = 3.

4. Исследуйте функцию f(x) = х3 – 3x2 + 2 и постройте ее график.

5. На рисунке приведена зависимость производной функции f'(x) на отрезке [-4; 3]. В каких точках функция f(х) имеет наибольшее и наименьшее значения?

6. Тело движется по прямой по закону  Найдите наименьшую и наибольшую скорости тела при t ∈ [1; 4].

В

7. Найдите производную функции 

8. Найдите уравнения общей касательной к параболам 

9. При каких значениях параметра а функция f(х) = 8ах – a sin 6x - 7x – sin 5xвозрастает на всей числовой оси и не имеет стационарных точек?

10. Вычислите площадь треугольника, отсекаемого от координатных осей касательной к кривой  проведенной параллельно прямой у = 5 + 1/3х.

С

11. Проведите исследование и постройте график функции 

12. При каких значениях а функция f(х) = 8ac – a sin 6x -7x - sin 5х возрастает на всей числовой оси и не имеет стационарных точек?

13. Напишите уравнение общей касательной к параболам 

Вариант 2

А

1. Найдите производную функции:

2. Решите неравенство f'(х) > g'(x), если  и 

3. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(х) = х2 - 2х - 3 в точке с абсциссой х0 = 2.

4. Исследуйте функцию f(х) = х3 - 3х + 2 и постройте ее график.

5. На рисунке приведена зависимость производной функции f'(х) на отрезке [-6; 2]. В каких точках функция f(х) имеет наибольшее и наименьшее значения?

6. Тело движется по прямой по закону  Найдите наименьшую и наибольшую скорости тела при t ∈ [1; 4].

7. Найдите производную функции 

8. Найдите уравнения общей касательной к параболам 

9. При каких значениях параметра а функция f(x) = a sin 7x + 8 ax + sin 4x - 5xубывает на всей числовой оси и не имеет стационарных точек?

10. Вычислите площадь треугольника, отсекаемого от координатных осей касательной к кривой  проведенной параллельно прямой у = 7 + 1/2х.

С

11. Проведите исследование и постройте график функции 

12. При каких значениях а функция  возрастает на всей числовой оси и не имеет стационарных точек?

13. Напишите уравнение общей касательной к параболам 

IV. Ответы и решения

Вариант 1

4. График построен.

11. График данной функции пересекает ось ординат в точке у = 2 и не пересекает ось абсцисс. Функция имеет наклонную асимптоту у = 3х -                   1. Найдем производную функции:  Функция f(х) возрастает на промежутках (-∞; -2] и [0; ∞) и убывает на промежутках [-2; -1) и (-1; 0]. Поэтому при х = -2 функция имеет максимум f(-2) = -10 и при х = 0 - минимум f(0) = 2. Теперь легко построить график функции.

Ответ: см. график.

12. Найдем производную функции:  Условия задачи выполняются, если f'(x) > 0 при всех x. Получим неравенство  Так как 8 - 6 cos 6х > 0, то параметр а должен удовлетворять неравенству  при всех х. Очевидно, что дробь справа принимает наибольшее значение, если ее числитель наибольший, а знаменатель наименьший. Это достигается, если cos 5x = 1 и cos 6х = 1 (выполняется, например, при х = 2пn). Тогда        Поэтому получим: a > 6.

Ответ: a > 6.

13. Пусть касание с параболой  происходит в точке а1. Найдем производную:  - и напишем уравнение касательной:  или  

Касание с параболой  происходит в точке а2. Найдем производную:  - и напишем уравнение касательной:  или 

Так как прямые у1 и у2 - одна и та же касательная, то у этих прямых должны совпадать угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений  или 

Из первого уравнения выразим а2 = 3 – а1 и подставим во второе уравнение: а12 + (3 – а1)2 = 9 или               а12 - 3а1 = 0, откуда а1 = 0 и а1 = 3. Подставив эти значения в уравнение касательной у1 получим: y = x – 2 и y = 7x - 11. Итак, существуют две общие касательные.

Ответ: у = х – 2 и у = 7х - 11.

Вариант 2

4. График построен.

11. График данной функции пересекает ось ординат в точке у = -5/3 и ось абсцисс - в точках х = 1 и х = 5/2. Функция имеет вертикальную асимптоту x = 3 и наклонную асимптоту y = 2х - 1. Найдем производную функции:  Функция f(х) возрастает на промежутках (-∞; 2] и [4; ∞) и убывает на промежутках [2; 3) и (3; 4]. Поэтому при х = 2 функция имеет максимум f(2) = 1 и при х = 4 - минимум f(4) = 9. Теперь легко построить график функции.

Ответ: см. график.

12. Найдем производную функции:  Условия задачи выполняются, если f'(x) > 0 при всех х. Получим неравенство  Так как 4 -2 cos 2х > 0, то параметр а должен удовлетворять неравенству  при всех х. Очевидно, что дробь справа принимает наибольшее значение, если ее числитель наибольший, а знаменатель наименьший. Это достигается, если cos 6х = 1 и cos 2х = 1 (выполняется, например, при х = пn). Тогда  Поэтому получим a > 8.

Ответ: a > 8.

13. Пусть касание с параболой  происходит в точке а1. Найдем производную:  - и напишем уравнение касательной:  или  

Касание с параболой  происходит в точке а2. Найдем производную:  - и напишем уравнение касательной:  или 

Так как прямые у1 и у2 - одна и та же касательная, то у этих прямых должны совпадать угловые коэффициенты и свободные члены. Получим систему уравнений  или 

Из первого уравнения выразим а2 = 2 – а1 и подставим во второе уравнение: a12 + (2 – а1)2 =4 или a12 - 2а1 = 0, откуда а1 = 0 и а1 = 2. Подставив эти значения в уравнение касательной у1, получим у = х - 1 и y = 5х - 5. Итак, существуют две общие касательные.

Ответ: у = х - 1 и y = 5х - 5.