Уроки 59-60. Зачетная работа по теме «Преобразование тригонометрических выражений»

Цель: проверить знания учащихся по вариантам одинаковой сложности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Характеристика зачетной работы

III. Варианты зачетной работы

Вариант 1

А

1. Дано:  Найдите sin a, tg a, ctg a.

2. Сравните числа cos14°cos74° и ½.

3. Вычислите 

4. Постройте график функции 

5. Решите уравнение 

6. Решите неравенство 

7. Упростите выражение 

В

8. Дано:  Найдите cos a - sin a.

9. Сравните числа 

10. Найдите область значений функции 

11. Упростите выражение 

12. Найдите значение выражения  если 

13. Найдите множество значений функции 

14. Решите уравнение 

Вариант 2

А

1. Дано: Найдите sin a, tg a, ctg a.

2. Сравните числа 

3. Вычислите 

4. Постройте график функции 

5. Решите уравнение 

6. Решите неравенство 

7. Упростите выражение 

В

8. Дано:  Найдите cos а - sin а.

9. Сравните числа 

10. Найдите область значений функции у = 12 sin x + 5 cos x - 4.

11. Упростите выражение 

C

12. Найдите значение выражения  если 

13. Найдите множество значений функции 

14. Решите уравнение 

IV. Ответы и решения

Вариант 1

2. Второе число больше.

4. График у = 2|cos х|.

9. Первое число больше.

10. Е(у) = [-10; 16].

11. -1.

12. В подкоренных выражениях умножим числители и знаменатели дробей на сопряженную величину знаменателя. Получим

В силу ограниченности функции sin а при всех а величины  Так как  то cos a < 0 и |cos a| = -cos a. Поэтому выражение  Для значения tg a = -1/3 найдем значение данного выражения: 

Ответ: 2/3.

13. Используем метод введения вспомогательного угла и преобразуем функцию:  Учтем, что функция арксинуса возрастающая, и запишем неравенства  тогда -6 ≤ y ≤ 2. Таким образом, множество значений данной функции Е(у) = [-6; 2].

Ответ: [-6; 2].

14. Преобразуем сумму двух последних функций в произведение: sin x + 2 sin a cos х = 2. Используем метод введения вспомогательного угла. Разделим все члены уравнения на  Получаем:  Будем считать, что  тогда tgφ = 2 sin a и φ = arctg(2 sin a). Уравнение имеет вид:  решения которого  и  При этом должно выполняться неравенство  Решим его и получим:  или  илиcos 2a ≤ -1/2, откуда 

Ответ:  при 

Вариант 2

2. Второе число больше.

4. График у = 2|sin2x|.

9. Второе число больше.

10. Е(у) = [-9; 17].

11. 1.

12. В подкоренных выражениях умножим числители и знаменатели дробей на сопряженную величину знаменателя. Получим:

В силу ограниченности функции sin а при всех а величины  Так как  то cos a > 0 и |cos a| = cos a. Поэтому выражение  Для значения tg a = -1/2 найдем значение данного выражения: 2 · (-1/2) = -1.

Ответ: -1.

13. Используем метод введения вспомогательного угла и преобразуем функцию:  Учтем, что функция арккосинуса убывающая, и запишем неравенства   тогда 3 ≥ у ≥ 0. Таким образом, множество значений данной функции Е(у) = [0; 3].

Ответ: [0; 3].

14. Преобразуем сумму двух последних функций в произведение: sin х + 2 cos a cos x= 2. Используем метод введения вспомогательного угла. Разделим все члены уравнения на  Получим:  Будем считать, что  тогда tg φ = 2 cos a и φ = arctg(2 cos a). Уравнение имеет вид:  решения которого  и  При этом должно выполняться неравенство  Решим его и получим:  или  или  откуда 

Ответ:  при