Уроки 51-52. Тригонометрические уравнения (факультативное занятие)

Цель: систематизировать способы решения тригонометрических уравнений.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Напишите формулу для: a) sin x + sin у; б) cos х cos у.

2. Упростите выражение 

3. Постройте график уравнения sin у = cos x.

Вариант 2

1. Напишите формулу для: a) cos x + cos у; б) sin x sin у.

2. Упростите выражение 

3. Постройте график уравнения cos у = sin x.

III. Изучение нового материала

В главах 2-4 рассматривались различные тригонометрические уравнения. Учитывая, что на практике уравнения встречаются очень часто, необходимо систематизировать, обобщить и дополнить изученный материал.

Более сложные тригонометрические уравнения решаются путем их сведения к простейшим. Методы сведения уравнений к простейшим, по сути, и являются способами их решения. Рассмотрим их.

1. Замена неизвестной

Если в уравнении тригонометрические функции удается выразить через одну функцию, то эту функцию можно выбрать в качестве новой неизвестной.

Пример 1

Решим уравнение 5 cos2 х - 3 cos х = 2.

Введем новую неизвестную cos х = y и получим квадратное уравнение 5у2 - 3у - 2 = 0, корни которого у1 = 1 и у2 = -2/5. Вернемся к старой переменной. Имеем два простейших уравнения:

а) cos x = 1, его решения х = 2пn, n ∈ Z;

б) cos x = -2/5, его решения 

Достаточно часто для приведения уравнения к одной переменной используют основное тригонометрическое тождество.

Пример 2

Решим уравнение 5 - 7 sin x = 3 cos2 x.

Используя основное тригонометрическое тождество, выразим cos2 x = 1 - sin2 х и запишем в виде 5 - 7 sin x = 3(1 - sin2 x) или 3sin2 x – 7 sin x + 2 = 0. Введем новую неизвестную y = sin x и получим квадратное уравнение 3у2 - 1у + 2 = 0, корни которого у1 = 1/3 и у2 = 2. Вернемся к старой неизвестной x. Получим простейшие тригонометрические уравнения:

а) sin х = 1/3, его решения 

б) sin x = 2, решений не имеет, так как sin x ≤ 1.

На экзаменах регулярно встречаются однородные уравнения различных степеней. Ознакомимся с ними.

Пример 3

Решим уравнение 2 sin х + 5 cos х = 0.

Левая часть уравнения содержит функции sin x и cos x, входящие в одной и той же первой степени, правая часть равна нулю. Поэтому данное уравнение называют однородным уравнением первой степени.

Проверим, что cos x = 0 не удовлетворяет уравнению. Действительно, при подстановкеcos х = 0 в уравнение получим: 2sin x = 0 или sin х = 0. Но если cos х = 0 и sin x = 0, то не выполняется основное тригонометрическое тождество. Следовательно (от противного),cos x ≠ 0.

Разделим все члены данного уравнения на cos х (так как cos x ≠ 0). Получим уравнение  или 2 tg x + 5 = 0, откуда tg x = -2,5. Решения этого простейшего уравнения  Учтено, что функция арктангенс является нечетной.

Пример 4

Решим уравнение 

Левая часть уравнения содержит функции sin2x и cos2x, входящие в одной и той же второй степени (при этом произведение sin2xcos2x приписывается степень, равная сумме степеней множителей, т. е. тоже вторая), правая часть равна нулю. Поэтому данное уравнение называют однородным уравнением второй степени.

Проверим, что cos2x = 0 не удовлетворяет уравнению. При подстановке cos2x = 0 в уравнение получим: 6sin2 2x = 0 или sin2x = 0. Так как cos2x = 0 и sin2x = 0, то не выполняется основное тригонометрическое тождество. Следовательно, cos2x ≠ 0. Поэтому разделим все члены данного уравнения на cos2 2x и получим:  или 

Введем новую переменную у = tg 2x. Имеем квадратное уравнение 6у2 - 5у + 1 = 0, корни которого у1 = 1/2 и у2 = 1/3. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие уравнения:

Достаточно часто уравнения, формально не являющиеся однородными, можно свести к однородным, используя основное тригонометрическое тождество.

Пример 5

Решим уравнение 

Левая часть уравнения представляет собой однородный многочлен второй степени по переменным sin х и cos х. Однако в правой части уравнения вместо числа 0 стоит число 1. Поэтому, используя основное тригонометрическое тождество, запишем число 1 также в виде однородного многочлена второй степени: 1 = sin2 x +  cos2 x. Тогда получим уравнение  или  Такое уравнение уже является однородным и решается аналогично предыдущему примеру.

Обычным способом убеждаемся, что в таком уравнении cos х ≠ 0 и делим все члены уравнения на cos2 x. Получим уравнение tg2 x + 5tg x + 4 = 0. Введем новую переменную у = tg x и получим квадратное уравнение у2 + 5у + 4 = 0, корни которого у1 = -1 и у2 = -4. Вернемся к старой неизвестной. Имеем простейшие тригонометрические уравнения:

а) tg x = -1, его решения 

б) tg x = -4, его решения   (была учтена нечетность функции арктангенса).

На практике распространены симметричные уравнения, т. е. уравнения, которые не меняются при замене sin x на cos x и наоборот (с точностью до перестановки множителей и слагаемых). Такие уравнения решаются с помощью замены у = sin x + cos x(простейший симметричный двучлен).

Пример 6

Решим уравнение 

Если заменить sin x на cos x и наоборот, то получим уравнение  которое совпадает с данным с точностью до перестановки слагаемых и множителей. По определению данное уравнение является симметричным.

Введем новую переменную у = sin x + cos x. Возведем это равенство в квадрат:  или  откуда  Подставив выражения sin x + cos x = у и  в данное уравнение, получим квадратное уравнение  или  Его корни  т. е.  Теперь вернемся к старой неизвестной х. При этом удобнее использовать соотношения  и  т. е. 

а) Для  имеем уравнение  Его решения  откуда 

б) Для  получим уравнение  Его решения  откуда 

Аналогичным способом можно решать уравнения, похожие по структуре на симметричные уравнения.

Пример 7

Решим уравнение 

Формально данное уравнение не является симметричным, но имеет похожую структуру. Поэтому решим его аналогично предыдущему примеру.

Введем новую переменную у = sin x – cos x. Возведем в квадрат это равенство и получим:  или  откуда выразим  Подставим у и y2 в данное уравнение. Имеем квадратное уравнение  или у2 + 2у - 3 = 0, корни которого у1 = 1 и у2 = -3.

Вернемся к старой переменной. Для этого используем соотношение  откуда sin 2x = 1 – y2.

а) Для у = 1 получим уравнение sin 2x = 0, тогда 2x = пn и 

б) Для у = -3 получим уравнение sin 2х = -8, которое решений не имеет, так как |sin2x| ≤ 1.

В ряде случаев при решении уравнений полезно использовать универсальную тригонометрическую подстановку. Она использует формулы (выведите самостоятельно)   (где ) и позволяет выражать функции sin x,cos х, tg х через одну и ту же функцию 

Пример 8

Решим уравнение 

Используем универсальную тригонометрическую подстановку и получим уравнение (где ) или у(у2 + 6) = 0, которое имеет единственный корень у = 0. Вернемся к старой неизвестной и получим уравнение   откуда x/2 = πn и х = 2пn, где n ∈ Z.

Пример 9

Решим уравнение 

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой у = tg х и получим уравнение  или  Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим ее на множители:  или (1 - у)у2 = 0. Корни этого уравнения у1 = 1 и у2 = 0.

Вернемся к старой переменной и получим простейшие уравнения:

а) tg х = 1, его решения 

б) tg х = 0, его решения 

Перейдем к следующему способу решения тригонометрических уравнений.

2. Разложение на множители

Если одну из частей уравнения удается разложить на множители, а другая часть равна нулю, то исходное уравнение сводится к совокупности более простых уравнений.