Уроки 49-50. Решение задач повышенной сложности (факультативное занятие)

Цель: рассмотреть более сложные задачи.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

Сначала еще раз приведем основные (пронумерованные) формулы (по группам).

Функции одного аргумента:

Синус и косинус суммы и разности аргументов:

Синус и косинус двойного аргумента:

Формулы понижения степени:

Преобразование сумм функций в произведения:

Преобразование произведений функций в суммы:

Теперь рассмотрим некоторые задачи.

Пример 1

Построим график функции у = |sin x|cos x + sin x|cos x|.

Раскроем знаки модулей по координатным четвертям.

I четверть

Тогда sin x ≥ 0, cos x ≥ 0 и у = sin x cos x + sin x cos x = 2 sin x cos x = sin 2x.

II четверть

Тогда sin x ≥ 0, cos x < 0 и у = sin x cos x - sin x cos x = 0.

III четверть

Тогда sinx < 0, cos x < 0 и у = -sin x cos x – sin x cos x = -2 sin cos x = - sin 2x.

IV четверть

Тогда sinx < 0, cos x ≥ 0 и y = -sin x cos x + sin x cos x = 0.

Теперь легко построить график данной функции.

Пример 2

Построим график уравнения sin|y| = sin|x|.

Запишем равенство в виде sin|y| - sin|x| = 0 и преобразуем разность в произведение:  Получим совокупность уравнений  (тогда ) и  (тогда ). Придаваяn различные значения, строим линии  и 

Пример 3

Упорядочим числа cos 1, cos 2, cos 3, cos 4, cos 5.

Учтем, что функция косинуса убывает на промежутке [0; π]. Числа 1, 2, 3 принадлежат этому промежутку. Так как функция косинуса четная и ее период равен 2π, то получим:  и  Теперь аргументы 2π - 4 и 2π - 5 также принадлежат промежутку [0; π]. Упорядочивая числа 1, 2, 3, 2π - 4 и 2π - 5, получим неравенство  откуда  или 

Пример 4

Найдем точки минимума и максимума функции 

Используя формулу для синуса двойного угла, преобразуем последнее слагаемое:  Тогда функция имеет вид: y = 3 - 8 sin 8х. Так как -1 ≤ sin 8x ≤ 1, то 8 ≥ -8 sin 8x ≥ -8 и 11 ≥ 3 – 8 sin 8x ≥ -5, т. е. -5 ≤ у ≤ 11. Таким образом, ymin = -5. Минимум функции достигается при условии sin 8x = 1, откуда  Максимум функции ymax = 11 и достигается при условии sin 8x = -1, откуда  и 

Пример 5

Вычислим 

Вычтем и прибавим единицу к выражению А:

Итак, А = 5.

Пример 6

Упростим выражение 

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе дроби А: . Преобразуем суммы функций в скобках в произведения:  Поэтому А = tg 5а.

Пример 7

Упростим выражение 

Начнем преобразования с внутреннего радикала и используем формулы понижения степени:  тогда 

Теперь упростим:

В последнем случае знак модуля не ставится, так как cos a ≥ 0 и sin a ≥ 0.

Итак,

Пример 8

Докажем, что  и вычислим 

Обозначим доказываемое выражение А и запишем:

В доказанном тождестве положим a = 10°, тогда

Пример 9

Упростим выражение 

Проведем преобразования с конца этого выражения: 

Полностью аналогично продолжаем цепочку равенств

Итак, А = ctg а.

Пример 10

Вычислим 

Обозначим  Найдем  Теперь легко найти 

III. Задание на уроках и на дом

1. Известно, что А, В, С - внутренние углы треугольника ABC. Докажите равенство:

2. Найдите значение выражения  если 

Ответ: 

3. Найдите значение выражения sin3 a - cos3 a, если sin a - cos a = a.

Ответ: 

4. Найдите ctg β, если 

Ответ: 

5. Найдите tg β, если 

Ответ: 

6. Вычислите:

Ответы: а, б) 1/32.

7. Найдите наименьшее значение выражения при 

Ответы: 

8. Найдите сумму:

Ответы: 

9. Вычислите:

Ответы: 

IV. Подведение итогов уроков