Уроки 47-48. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы

Цель: закончить изучение основных тригонометрических формул.

Ход уроков

 I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Напишите формулы для:

2. Упростите выражение 

3. Решите уравнение 

Вариант 2

1. Напишите формулы для:

2. Упростите выражение 

3. Решите уравнение 

III. Изучение нового материала

Чтобы закончить изучение этой темы, необходимо рассмотреть последнюю группу формул - преобразования произведений тригонометрических функций в суммы:

Пример 1

Выведем формулу (16).

Используя соотношение (5), запишем:  Вычтем из первого выражения второе и получим:  откуда 

Пример 2

Вычислим  Используя формулы (16)—(18), запишем:  Здесь учтено, что cos 90° = 0. Рассмотрим и  Получим: 

Пример 3

Найдем наименьшее и наибольшее значения выражения  Используя формулу (18), получим:  Оценим эту величину:  тогда  (все      части неравенства умножили на положительное число 1/2) и   (ко всем частям прибавили 1/4). Итак, получили:  т. е. наименьшее значение Анаим = -1/4 и наибольшее значение Анаи6 = 3/4.

Пример 4

Решим уравнение 

Используя формулу (17), получим:  или cos 11x =cos 23x. Запишем уравнение в виде cos 11x - cos 23x = 0 и представим разность косинусов в виде произведения функций: 2 sin 17x sin 6х = 0. Получим совокупность уравнений sin 17х = 0 (тогда ) и sin 6х = 0 (тогда ).

IV. Контрольный вопрос

Формулы преобразования произведений тригонометрических функций в суммы.

V. Задание на уроках

§ 23, № 1 (а, б); 2 (в, г); 3 (а, б); 4 (а); 5 (б); 6 (а); 7 (б); 8 (а); 9 (б); 10 (а, б); 11 (а); 12 (6); 13.

VI. Задание на дом

§ 23, № 1 (в, г); 2 (а, б); 3 (в, г); 4 (б); 5 (а); 6 (б); 7 (а); 8 (б); 9 (а); 10 (в, г); 11 (б); 12 (a).

VII. Подведение итогов уроков