Уроки 41-42. Синус, косинус и тангенс суммы и разности аргументов (обобщенное занятие)

Цель: рассмотреть формулы сложения.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

Главу начнем с рассмотрения формул для синуса и косинуса суммы и разности аргументов (их также называют формулы сложения). Обратите особое внимание на эти формулы, так как из них достаточно просто могут быть получены практически все формулы тригонометрии.

Пример 1

Получим формулу (4).

В единичной окружности радиус ОР (равный 1) повернем на угол х и на угол у. Получим радиусы ОА и ОВ. Легко записать координаты векторов  Найдем скалярное произведение этих векторов: 

С другой стороны,  Поэтому скалярное произведение векторов  можно записать и по-другому: 

Сравнивая два полученных выражения для скалярного произведения векторов , сразу получаем:  Формулы (5)-(7) получаются из формулы (4) с использованием формул приведения и четности функции cos х и нечетности функции sin х.

Пример 2

Получим пятую формулу.

Учтем формулы (7) и (5). Имеем:  В полученной дроби разделим числи тель и знаменатель дроби на cos х cos у. Тогда имеем:

Итак, получили  Аналогично выводится и шестая формула.

Теперь рассмотрим применение формул этой группы.

Пример 3

Вычислим cos 15°.

Учтем, что 15 = 45 - 30, и тогда 

Таким образом, приведенные формулы позволяют расширить значения тригонометрических функций, представленных ранее в таблице.

Пример 4

Найдем  если 

Используем формулу (6) и получим:  Найдем sin а. Используя формулу (1), получаем: sin2 a + c2 = 1, откуда  (учтено, что  и sin а > 0). Тогда 

Пример 5

Докажем неравенство  если 

Выпишем очевидные неравенства cos β sin a < sin a (так как cos β < 1) и cos a sin β <sin β (так как cos a < 1). Сложим два неравенства одного знака (при этом получившееся неравенство имеет тот же знак): cos β sin a + cos a sin β < sin a + sin β или по формуле (7) 

Пример 6

Известно, что a, β, γ - углы треугольника. Докажем, что 

Учитывая, что a, β, γ — углы треугольника, имеем: a + β + γ = 180, откуда γ = 180° - (a + β).

Упростим выражение cos γ: cosy 

Здесь учтено, что cos 180° = -1 и sin 180° = 0 (что видно из единичной окружности). Тогда  Tаким образом, тождество доказано.

Пример 7

В каких пределах находится отношение суммы катетов к гипотенузе в прямоугольном треугольнике?

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ = с и один из острых углов ∠А = а. Тогда через эти величины легко выразить катеты  Найдем отношение суммы катетов к гипотенузе:  Преобразуем выражение x, умножив и разделив его на  Получим:  Здесь при преобразовании выражения х было учтено, что 

Так как a – острый угол в треугольнике, то     Прибавим ко всем частям этого неравенства π/4 и получим:  Для удобства обозначим  Тогда необходимо найти диапазон изменения величины 

Диапазон этих углов отмечен на единичной окружности штриховкой (пунктир показывает, что значения углов  не достигаются). Понятно, что наименьшее значение х получается при  и равно 

Наибольшее значение x достигается при z = π/2 и равно  Итак, отношение суммы катетов к гипотенузе меняется в пределах 

Пример 8

Докажем, что функция у = ctg х убывает на промежутках (πn; π + πn), где n ∈ Z.

Данное утверждение достаточно доказать для промежутка (0; π). Используя определение убывающей функции и функции котангенса, получим:   Определим знак этого выражения. Так как 0 < x1 < х2 < π, то sin x1 > 0 и sin х2 > 0. Поэтому знаменатель дроби положительный. Из неравенства находим -π < x1 - х2 < 0, тогда sin(x1 - х2) < 0. Поэтому дробь отрицательная, т. е. у(х1) - у(х2) < 0 или y(x1) < у(х2). Следовательно, на указанных промежутках функция у = ctg х убывает.

Пример 9

Найдем 

Обозначим а = arcsin 1/3, тогда по определению sin a = 1/3 и  Найдем   (учтено, что cos a ≥ 0). Аналогично обозначим β =arcos 2/3, тогда cos β = 2/3 и β ∈ [0; π].        Вычислим   (учтено, что sin β ≥ 0).

Найдем: 

Пример 10

Вычислим 

Обозначим a = arctg 1/2 (тогда ) и β = arctg 1/3 (тогда ). Найдем сумму углов a + β. Сразу найти такую сумму нельзя. Поэтому вычислим любую тригонометрическую функцию от суммы углов. Проще всего найти тангенс. Учитывая известную формулу, получим:

Так как tg a > 0 и tg β > 0,  то  В промежутке [0; π) уравнение tg(a + β) = 1 имеет единственное решение а + β = π/4. Поэтому 

III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Формулы для синуса суммы и разности аргументов.

2. Косинус суммы и разности аргументов.

3. Формулы для тангенса суммы и разности аргументов.

IV. Задание на уроках

§ 19, № 1 (а); 2 (б); 4 (а, б); 5 (а); 8; 10 (а, в); 11 (а, б); 12; 16 (а); 17 (а, б); 20 (а); 22 (б); 23 (а); 24 (а, б); 26 (в, г);

§ 20, № 1 (а, б); 2 (в, г); 4; 7 (а); 9 (б); 12 (а); 13; 15.

V. Задание на дом

§ 19, № 1 (б); 2 (г); 4 (в, г); 5 (б); 9; 10 (б, г); 11 (в, г); 13; 16 (б); 17 (в, г); 20 (б); 22 (а); 23 (б); 24 (в, г); 26 (а, б);

§ 20, № 1 (в, г); 2 (а, б); 5; 7 (б); 9 (а); 12 (б); 14; 16.

VI. Подведение итогов уроков