Уроки 39-40. Зачетная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

Цель: проверить знания учащихся по вариантам одинаковой сложности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Характеристика зачетной работы

III. Варианты зачетной работы

Вариант 1

А

1. Вычислите 

2. Решите неравенство 

3. Найдите решения уравнения  на промежутке [0; 2π].

4. Найдите область определения и область значений функции у = arcsin|x|.

5. Решите уравнение:

6. Постройте график функции у = arccos х + arccos(-x).

В

7. Решите уравнение 

8. Найдите область определения и область значений функции 

9. Решите уравнение 

10. Решите неравенство 

С

11. Решите уравнение:

12. Постройте график функции 

Вариант 2

А

1. Вычислите 

2. Решите неравенство 

3. Найдите решения уравнения  на промежутке [0; 2π].

4. Найдите область определения и область значений функции у = arccos|x|.

5. Решите уравнение:

6. Постройте график функции у = arcctg x + arcctg(-x).

В

7. Решите уравнение 

8. Найдите область определения и область значений функции 

9. Решите уравнение 

10. Решите неравенство 2 cos2 x + cos х ≤ 0.

С

11. Решите уравнение:

12. Постройте график функции 

IV. Ответы и решения

Вариант 1

11, а. Используем равенство sin2 x + cos2 х = 1 и приведем уравнение к однородному тригонометрическому уравнению второй степени  или  Разделим все члены уравнения на cos2 x и получим: tg2x + 5tg х + 4 = 0. Введем новую переменную z = tg x и придем к квадратному уравнениюz2 + 5z + 4 = 0, корни которого z1 = -1 и z2 = -4. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие тригонометрические уравнения tg x = -1 (решения ) и tg х = -4 (решения ).

Ответ: 

11, б.  Запишем данное уравнение в виде  Учтем, что sinх ≤ 0, и возведем обе части уравнения в квадрат:  или  Введем новую переменную z = cos х и получим квадратное уравнение корни которого   (не подходит, так как z ≤ 1) и  Вернемся к старой неизвестной и получим систему  Решения этой системы 

Ответ: 

12. Построим сначала аргумент  данной функции у(х).

Функция z(x) четная, и ее график симметричен относительно оси ординат. При x = 0 значение  при х → ∞ значения z → 1 (а). Учтем, что  После этого легко построить график данной функции  (б).

Ответ: график построен.

Вариант 2

11, а. Используем равенство sin2 x + cos2 = 1 и приведем уравнение к однородному тригонометрическому уравнению второй степени  или  Разделим все члены уравнения на cos2 x и получим: tg2x - 3tg х + 2 = 0. Введем новую переменную z = tg х и придем к квадратному уравнениюz2 - 3z + 2 = 0, корни которого z1 = 1 и z2 = 2. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие тригонометрические уравнения tg х = 1 (решения ) и tg x = 2 (решения ).

Ответ: 

11, б.  Для уравнения  очевидно, что cos х ≥ 0. Возведем обе части уравнения в квадрат:  Запишем его в виде  или  Введем новую переменную z =sin х и получим квадратное уравнение  корни которого   (не подходит, так как z ≤ 1) и  Вернемся к старой переменной и получим систему  Решения этой системы  

Ответ: 

12. Построим сначала аргумент  данной функции у(х). Функция z(x) четная, и ее график симметричен относительно оси ординат. При х = 0 значение  при х → ∞ значения z → 1 (a). Учтем, что  и  После этого легко построить график данной функции  (б).

Ответ: график построен.