Уроки 15-16. Зачетная работа по теме «Числовые функции»

Цель: проверить знания учащихся по вариантам одинаковой сложности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Характеристика зачетной работы

Работа составлена в двух равноценных вариантах. По сравнению с контрольной работой увеличено количество заданий. Соответственно, у учащихся появляется возможность выбора задач. Все задания разбиты на три части: А, В и С. Самые простые задачи находятся в части А, более сложные - в части В, еще сложнее - в части С. Каждая задача из части А оценивается в 1 балл, из В - в 2 балла, из С - в 3 балла. Поэтому за правильное решение всех задач части А можно получить 7 баллов, части В - 8 баллов и части С - 9 баллов (всего 24 балла). Оценка «3» ставится за 6 баллов, оценка «4» - за 10 баллов, оценка «5» - за 14 баллов.

Так как эта работа является зачетной, то в нее не включены принципиально новые задачи. Поэтому разбору заданий работы отдельного урока можно и не посвящать (решения задач могут быть вывешены на стенде). Для стендового размещения разбор вариантов приводится.

III. Варианты зачетной работы

Вариант 1

А

1. Найдите область определения функции 

2. Определите область значений функции 

3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции  ее наибольшее и наименьшее значения.

4. Определите четность или нечетность функции 

5. Найдите значение функции  при х = 0,5-1.

6. Постройте график функции:

В

7. Даны функции  Найдите значение выражения  при х = -0,3.

8. Дана функция /(х) = 4х2 - х. Решите уравнение /(/(х)) = 33.

9. Постройте график функции:

C

10. Найдите область значений функции 

11. Дана функция  где коэффициенты а, b, с, d, k, mмогут принимать значения 0 и 1. Найдите значения а, b, с, d, k, m, для которых f(2) = 42.

12. Постройте график функции 

Вариант 2

1. Найдите область определения функции 

2. Определите область значений функции f(х) = 3х2 - 12х + 1.

3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции  ее наибольшее и наименьшее значения.

4. Определите четность или нечетность функции 

5. Найдите значение функции  при х = 0,2-1.

6. Постройте график функции:

В

7. Даны функции  Найдите значение выражения  при     х = -0,7.

8. Дана функция f(х) = 5х2 - х. Решите уравнение f(f(х)) = 76.

9. Постройте график функции:

C

10. Найдите область значений функции 

11. Дана функция  где коэффициенты а, b, с, d, k, mмогут принимать значения 0 и 1. Найдите значения а, b, с, d, k, m, для которых f(2) = 40.

12. Постройте график функции 

IV. Ответы и решения

Вариант 1

3. Функция возрастает на промежутке [-5; 0] и убывает на промежутке [0; 5], 

4. Функция нечетная.

6. а, б построены.

7. 1,08.

9. а, б построены.

10. Разделим числитель дроби на знаменатель и выделим целую часть. Получим:   Введем новую переменную t = х - 2 и запишем функцию в виде  Очевидно, что эта функция нечетная. Рассмотрим промежуток t ∈ (0; +∞) и напишем неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического. Получим:  или  Неравенство переходит в равенство при t = 25/t, т. е. t = 5 (или х - 2 = 5, т. е. х = 7). При t ∈ (-∞; 0) имеем: f(t) ≤ -10. Неравенство переходит в равенство при t = -5 (или х - 2 = -5, т. е. х = -3). Итак, 

Ответ: 

11. Запишем значение данной функции f(x) при х = 2:  Число 42 также запишем в двоичной системе счисления:  Сравнивая две приведенные записи, находим: а = 1, b = 0, с = 1, d = 0, k = 1, m = 0.

Ответ: а = 1, b = 0, с = 1, d = 0, k = 1, m = 0.

12. Данное выражение запишем в виде  При этом 1 - у ≥ 0, т. е. у ≤ 1. Возведем в квадрат обе части равенства:  или  Выделим полный квадрат по переменной х:  Получили уравнение окружности. С учетом ограничения у ≤ 1 имеем нижнюю полуокружность с центром в точке А(-2; 1) и радиуса R = 3.

Ответ: график построен.

Вариант 2

3. Функция возрастает на промежутке [0; 2] и убывает на промежутке [-2; 0], 

4. Функция четная.

6. а, б построены.

7. 3,92.

8. x1 = 1 и х2 = -4/5.

9. а, б построены.

10. Разделим числитель дроби на знаменатель и выделим целую часть. Получим:  Введем новую переменную t = х + 5 и запишем функцию в виде  Очевидно, что эта функция нечетная. Рассмотрим промежуток t ∈ (0; +∞) и напишем неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического. Получим:  или  Неравенство переходит в равенство при t = 36/t, т. е. t = 6 (или х + 5 = 6, т. е. x = 1). При t ∈ (-∞; 0) имеем: f(t) ≤ -12. Неравенство переходит в равенство при t = -6 (или x + 5 = -6, т. е. x = -11). Итак, 

Ответ: 

11. Запишем значение данной функции f(x) при x = 2:  Число 40 также запишем в двоичной системе счисления:  Сравнивая две приведенные записи, находим: a = 1, b = 0, c= 1, d= 0, k = 0, m = 0.

Ответ: a = 1, b = 0, c= 1, d= 0, k = 0, m = 0.

12. Данное выражение запишем в виде  При этом y + 1 ≥ 0, т. е. у ≥ 1. Возведем в квадрат обе части равенства:  или  Выделим полный квадрат по переменной x:  Получили уравнение окружности. С учетом ограничения у ≥ -1 имеем верхнюю полуокружность с центром в точке А(3; -1) и радиуса R = 2.

Ответ: график построен.