Решение тригонометрических уравнений

Жумаханова Баян Нуркеновна, преподаватель математики,
КГКП « Павлодарский колледж транспорта и коммуникаций»,
г.Павлодар,

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»
Цель:
1. Образовательные: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля (самоконтроля) усвоение знаний и умений, отработать навыки решения всех тригонометрических уравнений.
2. Развивающие: способствовать формированию умения принимать приёмы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитие математического кругозора, мышления, внимания, памяти.
3. Воспитательная: содействовать воспитанию интереса к математике и её приложениям, активности, мобильности, умения обобщаться, общей культуры.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Форма организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная, парная.
Метод обучения: частично – поисковый. Тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.
Материальное обеспечение урока: системно – обобщающая схема, динамические блоки тригонометрических уравнений; кубик – «экзаменатор»; шкала оценок; цветные мелки; указка. У учащихся на партах листы учёта знаний, системно – обобщающая схема, по четыре чистых подписанных листочка и копирка, таблицы по тригонометрии.

Ход урока

I. Ориентировочно – мотивационный блок.
1. Организационный момент.
2. Объявление темы и цели урока.
Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.
Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.
Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.
3.Проверка домашнего задания у доски. Письменно решить:

Решение:
1.


2.


3.


III. Операционно-исполнительный блок:
1. Сообщения:
1. Доклад об истории развития тригонометрии (выступает подготовленный учащийся).
2. Геометрические задачи, приводящие к решению тригонометрических уравнений.
3. О прикладной направленности изучаемой темы расскажет учащийся, который подготовил одну физическую задачу.
2.Тест (с самопроверкой):
Работа проводится в двух вариантах. Вопросы читаются в размеренном темпе, дважды, повторяя каждый вопрос, указывая на тот листок с номером, под которым находится правильный ответ.
Вариант 1
1. Каково будет решение уравнения cos x = a при |а| > 1?
2. При каком значении а уравнение cos x = a имеет решение?
3. Какой формулой выражается это решение?
4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения cos x = a?
5. В каком промежутке находится arccos a?
6. В каком промежутке находится значение а?
7. Каким будет решение уравнение уравнения cos x = 1?
8. Каким будет решение уравнения cos x = -1?
9. Каким будет решение уравнения cos x = 0?
10. Чему равняется arcos(-a)?
11. В каком промежутке находится arctg a?
12. Какой формулой выражается решение уравнения tg x = a?
13. Чуме равняется arctg(-a)?
Вариант 2
1. Каково будет решение уравнения sin x = a при |а|>1 ?
2. При каком значении а уравнение sin x = a имеет решение ?
3. Какой формулой выражается это решение?
4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sin x = a ?
5. В каком промежутке находится arcsin a ?
6. В каком промежутке находится значение а ?
7. Каким будет решение уравнение уравнения sin x = 1 ?
8. Каким будет решение уравнения sin x = -1 ?
9. Каким будет решение уравнения sin x = 0 ?
10. Чему равняется arcsin(-a) ?
11. В каком промежутке находится arcctg a ?
12. Какой формулой выражается решение уравнения ctg x = a ?
13. Чуме равняется arcctg(-a) ?
Тест окончен (собираются листочки с работой и открываются правильные ответы). Учащиеся отмечают на оставшихся листах неправильные шаги и количество правильных шагов П, заносят в лист учёта знаний.
№ Вариант №1 Вариант №2
1 Нет решения Нет решения
2 |а|≤1 |а|≤1
3


4 На оси Ох На оси Оу
5


6 [-1;1] [-1;1]
7


8


9


10
- arcsin a
11


12


13 -arctg a

IV. Систематизация теоретического материала
1 Устные задания на определение вида простейших тригонометрических уравнений. (работа с плакатами)
Плакаты 1,2
Ребята, здесь вы видите схемы решений тригонометрических уравнений. Как вы думаете, какая из схем этой группы является лишней? Что объединяет остальные схемы? (отвечающие учащиеся правильные шаги Р заносят в лист учёта знаний).
Плакат 1

1 y 2 y 3 y


0 x 0 x 0 x

4 y 5 y 6 y


0 x 0 x 0 x

Плакат 2

1 y 2 y 3 y


0 x 0 x 0 x

4 y 5 y 6 y

0 x 0 x 0 x

Ответы:
Плакат 1. 3-я схема – лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения вида sinx=а; 1, 2, 4-6 – cosx=a
Плакат 2. 4-я схема – лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения вида ctgx=a; 1-3,5,6 – tgx=a.
2.а Раздаточный материал (тесты)
2.б Решение однородных уравнений
Решаю уравнение 2Sinx - 3Cosx=0 на доске подробно объясняю ход действия.

Решение:

При делении уравнения asinx + bcosx = 0 где , на корни этого уравнения не теряются.
Записываю на доске следующие уравнения: 3sin2x-4sinxcosx+cos¬2x=0 и с помощью вопросов подключаю учащихся к активной работе.
Проверяем: каждый член уравнения имеет одну и ту же степень. Какой мы можем сделать вывод?
Какие мы решаем однородные уравнения?
Предлагаю учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение.
Решение:
Пусть tgx=y.
3у2-4у+1=0

следовательно,

3 Учабная серия “Классификация тригонометрических уравнений”:
На доске написаны уравнения данной серии и повешена системно-обобщающая таблица. У каждого учащегося имеется такая же схема. Определяя тип и методы решения уравнений, учащиеся заполняют свою схему. Открываются правильные ответы, учащиеся меняются схемами, проверяют, объясняют друг другу ошибки, количество верных шагов Р заносят в лист учёта знаний соседа.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

Уравнения вида acos x + bsin x = c, где a, b, c 0,рещающиеся методом введения вспомогательного аргумента.
4 Динамичные блоки уравнений (на магнитной доске) на сравнение, обобщение и выделение главного, раскрытие идей решения некоторых уравнений, предупреждение возможной ошибки, выделение общего алгоритма решения тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным (отвечающие учащиеся правильные шаги Р вносят в лист знаний).
1. О чем идет речь?
? Особое !
1.
2.

3.
4.

Ответ:1,2,4 – простейшие тригонометрические уравнения, решаются по известным формулам; 3 – простейшее тригонометрическое уравнение с параметром. Решение имеет только при a=0.
2.О чем говорит этот блок уравнений?

? Лишнее !
1.

2.

3.

4.

Ответ:1,3,4 – одноименные тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним решаются методом подстановки; 2 – уравнение однородное, но заменив 1 в правой частим на sin 2x + cos2x и разделив обе части уравнения на cos2 x (или sin2x), получим тригонометрическое уравнение.
3. Что бы это означало?
? Нельзя !
1.

2.

3.

?Можно !

Ответ: 1 – однородное уравнение I степени решается методом деления на cos x (sin x); 2 – однородное уравнение второй степени решается методом деления на cos2x (sin2x или sin x cos x); 3 – нельзя делить на cos2x,это приведет к потере корней. Можно делить sin2x или разложить на множители.
4.Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения.
a)
1.
2.
3.

Ответ: 1,3 – уравнения, решающиеся методом разложения на множители. 2 – уравнение лишнее. Это уравнение содержит обратную тригонометрическую функцию. Так как и sin (arcsin a) = a, получаем уравнение то есть
б)
1.
2.
3.

Ответ:2,3 – уравнения, решающиеся методом введения вспомогательного аргумента. 1 – уравнение лишнее, не имеет решение.
5. Назовите главный ключевой блок уравнений.
Ответ: Блок простейших тригонометрических уравнений – главный так как решение всех остальных уравнений сводится к решению простейших.
6. Снимаю блоки уравнений, решающиеся разложением на множители и методом введения вспомогательного угла, и прошу их назвать.
7. Снимая уравнение sin x+cos x, спрашиваю тип и метод решения.
1.2sin22x + 5sin 2x -3 = 0
2. 6sin2 x + 4sin x cos x = 1
3.3tg x + 5ctg x = 8
4.2sin2 + 5cos +1 = 0

1.sin x +cos x = 0
2.sin2x – 5sin x cos x + 4cos2x = 0
3.3sin x cos x –cos2x = 0

8. Нельзя ли оставшиеся уравнения объединить в один блок?
Ответ .Можно, получается блок тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным.
Показывая уравнение 2sin2 2x +5sin 2x – 3 = 0, спрашиваю алгоритм решения. Прошу выделить общий алгоритм решения для остальных уравнений.
Ответ.
1. Сведения к одноименному уравнению.
2. Замена переменной.
3. Решение квадратного уравнения.
4. Решение простейших тригонометрических уравнений.
5 Тестовые задания на нахождение идей решения уравнений (работа с плакатом). (Отвечающие учащиеся правильные шаги Р вносят в лист учета знаний.)
Плакат 3. При решение уравнений 1.1 -1.4 выберите из приемов 2.1 – 2.4 соответствующий и укажите нужную формулу или замену 3.1 – 3.4.
1.1 cos2x cos7x = cos5x cos4x.
1.2 tg x + ctg x + tg2x + ctg2x = 6.75.
1.3 sin2x +sin22x + sin23x + sin24x = 2.
1.4 Sin7x + sin x = cos3x
2.1 Замена переменной.
2.2 Преобразование суммы в произведение.
2.3 Преобразование произведения в сумму.
2.4 Понижение степени
3.1
3.2
3.3
3.4
Ответы:
1.1 2.3 3.4
1.2 2.1 3.3
1.3 2.4 3.2
1.4 2.2 3.1
Шкала оценок:”5” – правильных шагов Р >28; “4” – 27-25; “3” – 24; “2” – верных шагов Р<19.
V. Дифференцированная самостоятельная работа: (с самопроверкой)
На доске записано на трех уровнях. Учащиеся работают на листочках через копирку; каждый выполняет задание того уровня, который он выбрал.

Группа А 1.
1.
Группа Б
2. 2.

Группа В
1.
2.

Дополнительно:cos2 x + cos22x + cos23x + cos24x = 2.

VI. Проверка самостоятельной работы
Учащиеся в лист учета знаний вкладывают обобщающую схему, а также один экземпляр самостоятельной работы и сдают на проверку.
Самопроверка – учащиеся сами проверяют свои работы по готовым решениям на доске.
Решения
Группа А. 1. 1)
2)sin x = t
3)
4)sin x = 2 не имеет решения, так как


2. 1)
2)
3)

Группа Б.1.


2.

Группа В.1.


2. 1)

2)

Дополнительно.

VII. Этап всесторонней проверки знаний:

Предлагаю учащимся решить на доске уравнения:
а) б)
Затем предлагаю всем учащимся решить уравнение под буквой “а” и называю учащихся, которые решают уравнение под буквой “б”.
Первый учащийся решает уравнение “а”:



Второй учащийся решает уравнение “б”:



VIII. Итог урока:
1. Вот уже несколько уроков мы решаем тригонометрические уравнения.
Вопросы:
- Что это за уравнения? (Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций).
- Какие типы и методы решения тригонометрических уравнений мы знаем?
2. Если останется время, то с помощью кубика-“экзаменатора” можно фронтально
проверить у учащихся знания решений особых случаев простейших тригонометрических уравнений.
3. Даётся оценка работы учащихся.
Домашняя работа:
№247 (2, 4) №259 (2,4). Подготовка к контрольной работе.

Разведка кубика-“экзаменатора”

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Алтынов П.И. Алгебра и начала анализа (тесты). М:Дрофа, 1998
2. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. М:Просвещение, 1989
3. Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Алгебра в таблицах. М:Дрофа, 2002
4. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа М:Просвещение, 2003
5. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. М:Просвещение, 1999