Методика решения задач на ЕНТ

Преобразование выражений

Тестовые задания на преобразование выражений на тестах ЕНТ, да еще при наличии ответов для выбора правильного среди них - этот тот материал, на котором можно сэкономить время. Как быстро и правильно решать такие задания - тема нашего урока.

Пример 1. Упростите: [cos(α + 32o) + cos(α - 28o)]/cos(88o - α)

1)-3; 2)√3; 3) √3/2; 4)-√3/2; 4) 1.
Решение. Хорошо тому, кто помнит формулу преобразования суммы косинусов в произведение. А если забыл ее (честнее - не знал, так как вовремя не выучил). Как быть в этом случае? На уроке математики, конечно, получите заслуженную "двойку", а при решении этого тестового задания можно выкрутиться.
Обратим внимание на то, что правильный ответ не должен зависеть от значения α. Тогда, подставив в данное выражение вместо α, например, 28о, получим (cos60o + 1)/cos60o. Шерлок Холмс в этой ситуации сказал бы, что задача решена - правильный ответ 2). Его верный друг Ваттсон, конечно, попросил бы объяснить этот странный выбор. Действительно, числитель полученного выражения cos60o + 1 явно больше 1, а его знаменатель cos60o - меньше 1 (дробь), а при делении числа на дробь результат увеличивается (это знают даже дети из 4-5 классов). Значит, ответ должен быть больше 1. Таковым является только ответ 2.
А вот еще один пример, рассчитанный такого ученика, который не теряется в любых ситуациях.

Пример 2. Найдите значение выражения (4y2 - 3xy + x2)/(x2 - xy + y2), если x/y = 2.

1) 2/3; 2)3/2; 3) 1; 4)-2/3 5) -3/2.

Здесь также в дело пустим ответы, которые явно говорят, что правильный ответ от х и y не зависит, лишь бы x/y = 2.

Поэтому подберем х и y так, чтобы x/y = 2, например, х = 2 и y = 1. Тогда данное выражение примет значение 2/3 (вычислите сами!). Значит, правильный ответ 1). И это все, могут спросить некоторые. Да, все, ответ найден.

Задания для самостоятельного решения

Если учащийся только слушает, смотрит или читает готовые решения математических задач, то он сам никогда не научится их решать без посторонней помощи.

Поэтому предлагаю две задачи для самостоятельного решения.

Пример 1. Упростите: (sin5α - sin3α)/(cos5α + cos3α).

1) -ctgα; 2) -tg4α; 3) tgα; 4) tg4α; 5) ctgα.

Пример 2. Вычислите значение дроби (3xz +x2 -2xy)/(4y2 - yz - 2z2) при условии, что x/z = -2, z/y = -1.

1) 1,6; 2) 2,5; 3) 3; 4) -1,5; 5) -2.
Метод оценки

Часто на экзамене ЕНТ предлагают вычислить значение некоторого числового выражения. Однако попытки провести вычисления в "лоб" могут привести а неверному ответу. Одной из причин этого являются слабые вычислительные навыки абитуриентов или допущенная в процессе решения оплошность в выкладках. В таких случаях предпочтительнее избрать другие способы.

Рассмотрим известный из математики прием - метод оценки данного выражения. Суть этого метода состоит в том, что значение искомого выражения А сравнивают с некоторым числом В. Пусть А > В. Если удастся доказать, что все предложенные ответы, кроме одного будут меньше В, то для выбора остается только один ответ. Проиллюстрируем сказанное на следующем примере.

Пример 1. Найдите значение выражения (4 + √6)/(4 - √6) + (4 - √6)/(4 + √6).

1)2; 2) 3√6/8 ; 3) 4,4 ; 4)(8 + √6)/4.

Решение. Очевидно, что (4 + √6)/(4 - √6) > (4 + 2)/2 = 3. Поэтому значение данного выражения будет больше 3. Этому условию не удовлетворяет первый из предложенных ответов. Так как 3√6/8 < 9/8 и (8 + √6)/4 < (8 + 3)/4 < 3, то ответы 2) и 4) также не являются верными. Поэтому для выбора остается только ответ 3).

Пример 2. Найдите значение выражения (11 - 4√7)0,5

1) √7 + 2; 2) √7 - 2; 3) √7 - 1; 4)2 - √7.

Решение. воспользуемся тем, что 4√7 =√102. Поэтому 0 < (11 - 4√7)0,5 = (11 - √102)0,5 < 1. Ответ 1) явно больше 2, а ответ 4) отрицательный. Значит, они неверные. Так как √7 - 1 > 2 - 1 = 1, то ответ 3) также неверный. Остается признать, что верным будет ответ 2).

Задания для самостоятельного решения

Пример 1. Упростите выражение 2√3 - 5 - 11/(√12 - 1).

1) 2√3 - 4; 2)4; 3)-4; 4) -6.

Пример 2. Упростите выражение 15√0,6 - 0,5√60 + 2√3,75.

1) 0; 2) √15; 3) 5√3; 4) 3√15.

Метод симметрии

Предварительно сделаю лишь одно чисто техническое примечание. В дальнейшем системы двух уравнений будут записываться в виде {<уравнение1> и <уравнение2>}.

Пример 1. Решите систему уравнений: {x3 + y3 = 7 и x3y3 = -8}.

1) (-2; 1), (-1 ; 2); 2) (-1; 3), (1 ; -1); 3) (2; -1), (-1 ; 1); 4) (2; 1), (-1 ; -2); 5) (-1; 2), (2 ; -1).
Решение. Представим себе, что Вы на экзамене ЕНТ и на предложенное выше задание мгновенно даете правильный ответ 5). Возможно ли такое?
Да, возможно! Просто нужно еще раз посмотреть внимательно на данную систему уравнений (поднимите голову и посмотрите на систему уравнений и запомните ее). Поговорка говорит: "Смотреть и видеть не одно и тоже!". Действительно, многие смотрели на эту систему и не увидели, что если поменять x на y, а y на х, то ничего в системе не изменится. В таких случаях говорят, что система уравнений симметрична относительно переменных x и y.
Что это дает в нашем конкретном случае? А то, что если пара (a; b) является решением данной системы, то и пара (b; a) - тоже решение этой системы уравнений. Как, например, в ответе 5). Остальные ответы 1), 2), 3) и 4) явно неверные, так как в них содержатся несимметричные пары чисел.
Вот и все решение, которое, как было обещано ранее, не требует никаких вычислений, выполняется устно и мгновенно.
Примечание. Хочу уберечь читателей от возможной ошибки. Пара вида (а; а) симметрична сама себе. Это надо учитывать при решении симметричных систем уравнений в тестовых заданиях. Так, если в одном из ответов была бы пара типа (а; а), а другие ответы не содержали бы симметричных пар чисел, то только этот ответ нужно было бы признать правильным.
А вот еще одна система уравнений, для решения которого полезно применить идею симметрии.
Пример 2. Решите систему уравнений: {x2 - 2|х| - 3 = 0 и x + y = 6}.

1)(-2; 8), (7 ; 5); 2)(4; 2), (-9 ; 6); 3) (3; 3), (-3 ; 9); 4) (-6; 12), (-3 ; 9); 5) (-3; 6), (9 ; 0).
Решение. Здесь, скажут некоторые, переменные х и y входят в систему несимметрично. Конечно, они правы! Однако симметрия в этой системе присутствует. Обратите внимание на первое уравнение. Функция, расположенная в ее левой части, является четной. Что дает это наблюдение для практики решения тестовых заданий? Да практически все. Это наше замечание позволяет решить данное тестовое задание "на вскидку", без карандаша и бумаги для математических выкладок.

Если некоторое число а будет решением первого уравнения, то и -а автоматически станет его решением. Поэтому ответы к этой задаче должны содержать пары вида (а; ...) и (-а; ...) или (0; ...) (0 = - 0). Поэтому все ответы кроме третьего неверны. Значит, верен только ответ 3).

Задания для самостоятельного решения

Пример 1. Решите систему уравнений: {x + y = -2 и x2 + y2 = 100}.

1) (-8; 6), (6 ; -8); 2) (-5; 6); 3) (-6; 5), (2 ; 8); 4) (-9; 4), (2 ; 7); 5) (4; 5), (6 ; -5).

Пример 2. Решите систему уравнений: {x - y = 4 и 3y2 - 2|y| - 1 = 0}.
1) (-3; -1), (5 ; -1); 2) (-3; 1), (-5; 1); 3) (3; -1), (5 ; 1); 4) (3; -1), (-5 ; -1); 5) (-3; 1), (5 ; 1).

Тригонометрические выражения

Тестовые задания по тригонометрии - самые трудные и нелюбимые школьниками. Почему? Причина проста. Школьники на хотят зубрить соответствующие формулы. А без формул в тригонометрии никуда. А можно ли решать тестовые (и не только) знания без формул?
Вообще говоря нельзя. Но если очень хочется, то можно. А если серьезно, то можно, но с одной оговоркой - только иногда. При этом в редких случаях. На сегодняшнем уроке разберем такие тестовые задания по тригонометрии.
Пример 1. Дано: tgα = 3/4, 0 < α < π/2. Вычислить sinα + 2cosα.
1) -10/5; 2) 10/5; 3) -11/5; 4) 11/5; 5) 7/5.
Вот как можно решить наше тестовое задание без всяких формул, используя только определение тангенса, косинуса и котангенса одного и того же угла. Так как 0 < α < π/2 (угол α - острый), то используем определение тригонометрических функций для острого угла из курса геометрии восьмого класса (кто не помнит - почитайте учебник геометрии).
Построим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 (стройте сами без меня). Понятно, что это так называемый египетский треугольник, у которого гипотенуза равна 5 (кто в этом не уверен - вычислите гипотенузу по теореме Пифагора). Тогда sinα по определению равен отношению противолежащего катета (3) к гипотенузе (5), cosα - отношению прилежащего катета (4) к гипотенузе (5).
Поэтому sinα + 2cosα = 3/5 + 8/5 = 11/5. Значит, ответ 4 - правильный.
Пример 2. Дано: sinα = -3/5, π < α < 3π/2. Вычислите 2tgα + ctgα.
1) 25/12; 2) 17/6; 3) -25/12; 4) -17/6; 5) 25/6.
В координатной плоскости ХОУ построим окружность с радиусом 5 и на ней отметим точку с ординатой -3.
Очевидно, что треугольник МАО - египетский. Поэтому МА = 4. Значит, точка М имеет координаты х = -4, у = -3.
По определению tgα = у/MO = 3/4, а ctgα = х/MO = 4/3. Поэтому 2tgα + ctgα = 3/2 + 4/3 = 17/6. Значит, правильный ответ 2.
А где же калькуляторное решение? Конечно, его можно реализовать. Однако не все так просто. В нашем случае угол α расположен в третьей четверти, а для этих случаев непосредственное применение калькулятора невозможно. Нужно помнить, что калькулятор удобно применять тогда, когда угол α расположен в первой четверти. Поэтому мы рассматривать калькуляторное решение не будем, так как оно потребует больше времени, чем то решение, которое приведено выше.

Задания для самостоятельного решения

Пример 1. Дано: sinα = 40/41, 0 < α < π/2. Вычислите tgα - ctgα.

1) 1681/360; 2) -1519/360; 3) -1681/360;

4) 81/360; 5) 1519/360.

Пример 2. Дано: cosα = -3/5, π/2 < α < π. Вычислите tgα + sinα.

1) -8/15; 2) 8/15; 3) 32/15; 4) -32/15; 5) 31/20.