Конспект к уроку математики «Первообразная и интеграл» 11 класс

Тип урока: урок оценки и коррекции знаний; повторения, обобщения, формирования знаний, умений, навыков.
Девиз урока: Не стыдно не знать, стыдно не учиться.
Цели урока:
Обучающие: повторить теоретический материал; отработать навыки нахождения первообразных, вычисления интегралов и площадей криволинейных трапеций.
Развивающие: развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память.
Воспитательные: воспитание математической культуры учащихся, повышение интереса к изучаемому материалу, осуществление подготовки к ЕНТ.
План конспект урока.
Организационный момент
Актуализация опорных знаний учащихся.
1.Устная работа с классом на повторение определений и свойств:
1. Что называется криволинейной трапецией?

2. Чему равна первообразная для функции f(х)=х2.

3. В чем заключается признак постоянства функции?

4. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на х I?

5. Чему равна первообразная для функции f(х)=sinx.

6. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?

7. В чем заключается основное свойство первообразной?

8. Чему равна первообразная для функции f(х)= .

9. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их

первообразных»?

10. Что называется неопределенным интегралом?
11.Что называется определенным интегралом?

12.Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.

Ответы

1. Фигуру, ограниченную графиками функций y=f(x), у=0, х=а, х=b, называют криволинейной трапецией.

2. F(x)=x3/3+С.

3. Если F`(x0)=0 на некотором промежутке, то функция F(x) – постоянная на этом промежутке.

4. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F`(x)=f(x).

5. F(x)= - cosx+C.

6. Да, верно. Это одно из свойств первообразных.

7. Любая первообразная для функции f на заданном промежутке может быть записана в виде

F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на заданном промежутке, а С –

произвольная постоянная.

8. F(x)=2 +C.

9. Нет, не верно. Нет такого свойства первообразных.

10. Если функция у=f(x) имеет на заданном промежутке первообразную у= F(x), то множество всех первообразных у= F(x)+С называют неопределенным интегралом от функции у=f(x).
11. Разность значений первообразной функции в точках b и a для функции у = f (x) на промежутке [a; b] называется определенным интегралом функции f(x) на промежутке [a; b] .
12..Вычисление площади криволинейной трапеции, объемов тел и вычисление скорости тела в определенный промежуток времени.
Применение интеграла. (дополнительно записать в тетрадях)


Величины
Вычисление производной
Вычисление интеграла

s – перемещение,

,

А – ускорение


a(t) =




A - работа,

F – сила,

N - мощность
F(x) = A'(x)

N(t) = A'(t)




m – масса тонкого стержня,

- линейная плотность
(x) = m'(x)


q – электрический заряд,

I –сила тока
I(t) = q (t)


Q – количество теплоты

с - теплоемкость
c(t) = Q'(t)


Правила вычисления первообразных

- Если F – первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.

-Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.

-Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k 0, то есть есть первообразная для f(kx+b).

^ 4) - формула Ньютона-Лейбница.

5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на промежутке [a;b] функций и таких, что для всех x [a;b] вычисляется по формуле

6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:

или

Найдите неопределенный интеграл: (устно)


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ответы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.


III Решение заданий с классом



1. Вычислите определенный интеграл: ( в тетрадях, один учащийся на доске)

1) ;

2) ; 3) .
Задачи по рисункам с решениями:
№ 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= x3,  y=0, x=-3, x=1.
Решение.
   0              1                                  0                   1
-∫ х3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) |  + (x4 /4) |  = (-3)4 /4 + 1/4 = 82/4 = 20,5   
 -3                0                               -3                    0


№3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=x3+1,  у=0,  x=0
Решение.
(3/4)

 
№ 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х2,  у=0,  
Решение. Сначала построим график, чтобы определить пределы интегрирования. Фигура состоит из двух одинаковых кусочков. Вычисляем площадь той части, что справа от оси у, и удваиваем.

(10  2/3)
№ 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+2sin x,  у=0,  x=0,  x=п/2
Решение.
F(x) = x - 2cosx; S = F(п/2) - F(0) = п/2 -2cosп/2 - (0 - 2cos0) = п/2 + 2

Вычислите площадь криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий.


д)

3. Вычислите по рисункам площади заштрихованных фигур ( самостоятельная работа в парах ) Задание: вычислите площадь заштрихованной фигуры

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

III Итоги урока.

а) рефлексия: -Какие выводы от урока вы сделали для себя?
- Есть ли каждому над чем поработать самостоятельно?
- Полезен ли был для вас урок?
б) анализ работы учащихся
в) Дома: повторить, свойства все формулы первообразных, формулы нахождения площади криволинейной трапеции, объемов тел вращения. № 136 (Шыныбеков)