Математическое соревнование в 11 классе по теме "Степень с рациональным показателем и ее свойства"

Математическое соревнование в 11 классе
по теме "Степень с рациональным показателем и ее свойства"
“Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть
из математики степени, и он увидит,
что без них далеко не уедешь”.
(М.В. Ломоносов)
Цели урока:
• обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Степень”;
• проконтролировать уровень усвоения материала;
• ликвидировать пробелы в знаниях и умениях учащихся;
• формировать навыки самоконтроля учащихся;
• создать атмосферу заинтересованности каждого ученика в работе, развивать познавательную активность учащихся;
• воспитывать интерес к предмету, к истории математики.
Задачи урока:
• обучающие: проверка знаний учащимися основных понятий, правил, законов на определение степени с рациональным показателем, умений самостоятельно применять знания в стандартных условиях, в измененных и нестандартных условиях;
• развивающие: логическое мышление и творческие способности;
• воспитывающие: расширение кругозора учащихся в историческом аспекте, пополнение лексического запаса новыми терминами, знаний о их этимологическом происхождении, получение дополнительной информации об окружающем мире.
Тип урока: урок-игра
Оборудование: оценочные листы, карточки с заданиями, дешифраторами, кроссвордами для каждого учащегося, оборудование для мультимедийной презентации,
ХОД УРОКА
I. Организационный момент.
Учитель. Мы начали изучать тему “Степень с рациональным показателем и её свойства”. Ваша задача на этом уроке, показать, как вы усвоили новый изученный материал и как вы умеете применять полученные знания при решении конкретных задач.
Класс был поделен на 2 команды. Давайте послушаем домашнее задание: Название, девиз, эмблема.
Домашнее задание.

II. Актуализация знаний учащихся.
Учитель. Известный французский писатель Анатоль Франс сказал в свое время: “Учиться надо весело.…Чтобы поглощать знания надо поглощать их с аппетитом”.
1. Разминка.
1. Гимнастика ума

Кроссворд.
2. Повторить необходимые теоретические сведения я предлагаю вам в ходе разгадывания кроссворда

По горизонтали:
1. Действие, с помощью которого вычисляется значение степени (возведение).
2. Произведение, состоящее из одинаковых множителей (степень).
3. Действие показателей степеней при возведении степени в степень (произведение).
4. Действие степеней, при которых показатели степеней вычитаются (деление).
По вертикали:
5. Число всех одинаковых множителей (показатель).
6. Степень с нулевым показателем (единица).
7. Повторяющийся множитель (основание).
8. Значение 105:(23•55) (четыре).
9. Показатель степени, который обычно не пишут (единица).
Слайд
Устный счет (вытягивают бумажку с номером заданий, например 3с)

Упростить
1 ВАРИАНТ
Упростите выражения:
а) а1/2 :а1/5;
б) (в0,6)0,3 в0,32;
в) (х –2/3у1/4) –3;
г)√ с2 с1/2;
д) х4,7 х –3,9 х –2,1х1,9
Дополнительная часть:
а –3/2 в5/6 (а0,5 в1/18) 3
2 ВАРИАНТ
Упростите выражения:
а) у1/5:у2/3;
б) (с0,7)0,5 с1,65;
в) (а-1/7 х2/5)5;
г) р2/3 √ р5 ;
д) в3,5 в-2,7в-2,9в3,1
Дополнительная часть:
а-4/3в0,75 (а1/3в1/16)4

Учитель. Повторив определение степени с рациональным показателем и его свойства, выполним следующие задания, получая и исторические справки, связанные с понятием степени.
Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов.
Задание. Решив уравнения и составив слово, используя дешифратор, вы узнаете имя этого ученого, который положил начало буквенных записей степени. Слайд
Л Т Н Р Ш О Ь И Е Ф К А Д Ю
9/4 9 5 11 -2 4/9 20 5/3 1/3 1 3 8 64 2
1. Х1/3=4
2. у-1=3/5
3. а1/2= 2/3
4. х-0,5 х1,5 = 1
5. у1/3 =2
6. а2/7а12/7 = 25
7. а1/2 : а = 1/3
Слово: 1234567 (Диофант)
Исторические сведения о развитии понятия степени (сообщение учащегося).
А) Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона. В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком Δ с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т.д. Слайд 6
Исторические сведения о развитии понятия степени (сообщение учащегося).
Б) Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно.
Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоризм пропорций”- Algorismus proportionum (Вычисление пропорций), в котором он впервые использовал степени с дробными показателями и фактически вплотную подошёл к идее логарифмов. Николай Оре́м, или Николай Орезмский (Nicolas Oresme, Nicholas Oresme, Nicole Oresme) (до 1330 г., Нормандия — 11 июля 1382 г. Лизье, Франция) — католический богослов, епископ, один из наиболее известных французских философов и учёных XIV в. Слайд 7.
Равенство, а0 =1 (для а не равного 0) применял в своих трудах в начале ХV века самаркандский ученый Гиясаддин Каши Джемшид. Независимо от него нулевой показатель был введен Николаем Шюке в ХV веке. Известно, что Николай Шюке (1445–1500 гг.), рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями. Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются у Симона Стевина. Симон Стевин предположил подразумевать под а1/n корень
Теперь продолжим нашу историческую экскурсию. В Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М.Штифеля появился термин «показатель степени».
Предлагаю, вычислить и составить слово, используя дешифратор. Слайд
Выполнив это задание, вы, ребята, узнаете фамилию немецкого математика, который ввел термин – “показатель степени”.
1. -81/3
2. 811/2
3. (3/5)-1
4. (5/7)0
5. 27-1/3
6. (2/3)-2
7. 161/2 * 1251/3
Слово: 1234567 (Штифель)
Л Т Н Р Ш О Ь И Е Ф К А Д Ю
9/4 9 5 11 -2 4/9 20 5/3 1/3 1 3 8 64 2
Исторические сведения о развитии понятия степени (сообщение учащегося).
В) Немецкий математик М.Штифель (1487–1567 гг.) дал определение а0=1 при a ≠1 и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степе. Штифель оставил заметный след в развитии алгебры. В его главном труде Arithmetica integra (Нюрнберг, 1544) он дал содержательную теорию отрицательных чисел, возведения в степень, различных прогрессий и других последовательностей. Штифель впервые использовал понятия «корень» и «показатель степени» (лат. exponens), причём подробно анализировал и целые, и дробные показатели. Опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов и составил их таблицы до 18-й степени. Штифель переработал (фактически написал заново) книгу алгебраиста (коссиста) Кристофа Рудольфа, и использованные там современные обозначения арифметических операций с этого момента укоренились в математике (1553). Слайд 9-10.
Г) В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. Слайд 11.
Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона (1643–1727).
Но современные обозначения (типа а4, а5) в XVII в ввел Рене Декарт.
VII. Учитель. Вычислить и составить слово, используя дешифратор. Слайд
Выполнив это задание, вы, ребята, узнаете фамилию этого математика, который ввел современную запись степени.
1. Х1/3=4
2. у-1= 3
3. (х+6)1/2 = 3
4. у1/3 =2
5. (у-3)1/3=2
6. а1/2 : а = 1/3
Cлово: 123456 (Декарт)
Вычисляй-ка
Вопросы капитанам
Вопросы теста по теме «Корень n-й степени и его свойства».
1.Упростите выражение
а) 2 ; б) – 2 ; в) 10 г) 9 .
2. Упростите выражение
а) ; б) – ; в) 3 г) 9.
3. Упростите выражение
а) ; б) – ; в) 3 г) – 7 .
4.Сократите дробь
а) ; б) ; в) г) .
5.Упростите выражение
а) ; б) ; в) г)
Команда 1

1о. Вычислите:
а)
б)
в)
2о. Вычислите:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
Команда 2
1о. Вычислите:
а)
б)
в)
2о. Вычислите:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
Вопросы теста по теме «Корень n-й степени и его свойства».
Вычислите
1)
а) 5
б) 6
в) 4
г) –36.
2)
а) 15
б) 18
в) 20
г) 10
3)
а)
б)
в)
г)
4) 2
а) - 2
б) 6
в) - 6
г) 54
5)
а) 8
б) 3
в) 4
г) 2

6)
а) 18
б) 72
в) 36
г) 4
7) 5
а) 5,5
б) 3
в) 0,7
г) 3,5
8)
а) 12
б) 6
в) 7
г) 36
9)
а) 15
б) 45
в) 54
г) 30
10)
а) 1
б) 64
в) – 1
г) 38

Учитель. А теперь, ребята, получаем игровое задание “Лабиринт” (достаточно 2 варианта, 2 ученика работают у отдвижной доски и другие – на местах в парах). Задания разрезаны на полоски, начиная с числа, ответ одного задания является началом другого, но его надо найти в беспорядочном разложении на столе у каждого ученика. Проверка очень проста, ответы также на полосках лежат на столе, если решил правильно – ответ найдешь на полоске.
Подведение итогов урока.
Вы сами оценивали свои знания. А ребятам, которые готовили исторические справки, делали задания «лабиринта» получают оценки. Высказываем свои мнения по уроку (если останется время).
Рефлексия.
Слайд. А в конце нашего урока определим ваше отношение к нему. Выберите нужную вам фигуру, которая соответствует вашему восприятию нашего урока. Всем спасибо за урок!