Арифметическая и геометрическая прогрессии

Тема урока:  «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

урок алгебры в 9 классе

 

Цели урока:

1.      Обобщение и систематизация знаний учащихся по данной теме.

2.      Ознакомление учащихся с историческим материалом.

3.      Развитие  коммуникативности.

Урок «Совет Мудрецов»

Урок – это маленький спектакль, который рассчитан на успех учителя и его учеников

Плакат к уроку: «Прогрессио – движение вперед»

Класс разбит на три группы. За столом трое мудрецов (ученики девятого класса).

 Учитель.           Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучен космос и моря,

Строенье звезд и вся земля.

                             Но математиков зовет

Известный лозунг

«Прогрессио – движение вперед».

             Сегодня у нас в классе состоится совет – совет Мудре­цов. Мудрецы – ученики, сидящие в классе по группам, и мудрецы, сидящие за столом учителя. Узнаете ли вы их?

(За столом сидят: Архимед. Гаусс. Магницкий.)

                            Архимед. Кто формулу суммы квадратов нашел?

И верной дорогoй к прoгрессу пришел?

Математик и физик. Я – Архимед.

О жизни моей ходит много легенд.

 

Гаусс. О! Я – Карл Гаусс! (1777–1855 гг.) Нашел мо­ментально сумму всех 'натуральных чисел от 1 до 100, будучи еще учеником начальной школы.

Магницкий. Господа! Имею честь представиться. Я, Леонтий Филиппович Магницкий, – создатель первого учебника «Арифметика».

Учитель. Скажите, ребята, почему эти ученые вдруг собрались вместе за одном столом? Какой вопрос матема­тики объединил их? Если вы не догадываетесь, то внима­тельно посмотрите сценку.

В классе появляется индусский царь с двумя слугами.

 Царь. Я, индусский царь Шерам, научился играть в шахматы и восхищен ее остроумием и разнообразием в ней положений. Слуги, позовите изобретателя Сету. Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал. Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета. Повелитель, прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

Царь. Простое пшеничное зерно?

Сета. Да, повелитель. За вторую клетку прикажи вы­дать два зерна, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16 и так до 64–й клетки.

 Царь Шерам рассмеялся.

Учитель. О, мудрецы 9–го класса, давайте посовету­емся. Стоит ли царю смеяться?

На доске запись: 1, 2, 4, 8, 16, ... , S₆₄ – ?

Учащиеся решают: b₁ = 1, q = 2, п = 64,S₆₄ = 2⁶⁴ – 1.

Как велико это число? Кто может объяснить?

Архимед. Наимудрейшие! Если бы царю удалось засе­ять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горя, и пустыню, и Арктику с Антарк­тикой, и получить удовлетворительный урожай, то, по­жалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

Гаусс. Математика – это точная наука. (Записывает на доске 18 446 744 073 709 551 615. Читает.) Восемнад­цать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

Магкицкий. Господа, мудрецы 9–го класса! Мои совре­менники сказали бы так, что              S₆₄  18,5 ·10¹⁸. Правда, я Baм признаюсь, что в моем учебнике «Арифметика», из­данном 200 лет назад, по которому целых полвека учи­лись дети, много задач по теме. Прогрессии., но иные из них я сам решал с большим трудом, так как еще не нашел всех формул, связывающих, входящие в них величины.

       Гаусс.          Под скрип пера о лист бумаги,

Запахните сие листы!

                                  да помогут вам наши начинанья!

Раздаются заготовки листов для проверки знаний теории, т.е. восстанавливается опорный конспект урока–лекции по теме «Прогрессии».

 Ученики заполняют таблицу.

На экране появляется таблица:

 Прогрессии

 

Арифметическая а_п

Геометрическая b_n

1. Определение

а_п+1=а_п + d

b_n+1= b_nq (q≠0,q≠1)

2. Формула п  первых членов

a_n=a₁+d(n – 1)

b_n=b₁q^{n – 1}

3. Сумма п первых членов                 прогрессии

Sn=a1+an2∙n

Sn=2a1+dn-12∙n

Sn=b1qn-1q-1

4. Свойства

an=an+1+an-12

bn=bn+1bn-1

Бесконечно убывающая q<1

S=b11-q

Гаусс. Зная эти формулы, можно решить много инте­ресных задач, и если вы, мудрецы 9–го класса, справитесь с их решением верно, то узнаете мое любимое изречение.

Каждой группе дается задание. В группу входит до пяти чело­век. Задания распределяются с учетом возможности каждой груп­пы и рассчитаны на 25 минут.

 I  группа.

 

1.  Найдите семнадцатый член арифметической прогрес­сии: 19, 15, ....

(– 45)

2.  Найдите сумму первых семнадцати членов этой про­грессии.

(– 221).

 Гаусс.    Изрядно потрудившись, собрали вы слова

   И поиск их был нами оценен.

   Слова же следует теперь соединить,

   В какую фразу можно их объединить?

   «Математика – царица наук,

              арифметика – царица математики».

 Учитель.       О, Мудрецы времен!

                      Дружней вас не сыскать.

                      Совет сегoдня завершен, но

                      Каждый должен знать:

                         Познание, упорство, труд

                     К nрогрессу в жизни nриведут!

 Подведение итогов урока, выставление оценок.

Взаимооценка учащихся в группах.