Презентация к уроку математики "Решение квадратных уравнений" 8 класс
05.09.2015
4296
796
Титова Елена Николаевна
Учитель математики ШГ№4
Титова Е.Н.
Тип урока. Урок обобщающего повторения.
Цель урока. Обобщение, систематизация и углубление знаний учащихся по изучаемой теме.
Задачи урока:
• способствовать формированию умений применять разные способы решения уравнений;
• развивать творческие способности учеников путем решения уравнений с параметром и задач на составление уравнений;
• побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Логика урока. 1) Мотивация.
2) Актуализация опорных знаний и умений.
3) Проверка уровня восприятия и осмысления учащимися материала.
4) Систематизация полученных знаний.
5) Применение полученных знаний для решения заданий с параметром.
6) Анализ.
7) Рефлексия.
Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки со схемами, тестовые задания, ребусы, листы оценивания.
Ход урока.
I. Организация начала занятия.
1. Оргмомент.
2. Постановка цели урока, определение задач урока.
(слайды № 1,2,3,4)
II. Подготовка учащихся к активной учебно-познавательной деятельности.
1. Мотивация.
Историческая справка.(слайды 5-12)
(Презентация об истории изучения квадратных уравнений )
Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.
Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax2 = c и ax2 + bx = c и привел методы их решения.
Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. и китайские математики примерно со II века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения.
Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).
В 16 в. итальянские математики Н.Тарталья (1499–1577), С.Даль Ферро (1465–1526), Л.Феррари (1522–1565) и Д.Кардано (1501–1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, было введено множество символов, в том числе +, –, , , =, > и <. Самым существенным новшеством стало систематическое использование французским математиком Ф.Виетом (1540–1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Это нововведение позволило ему найти единый метод решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Затем математики обратились к уравнениям, степени которых выше четвертой. Работая над этой проблемой, Кардано, Декарт и И.Ньютон (1643–1727) опубликовали (без доказательств) ряд результатов, касающихся числа и вида корней уравнения. Ньютон открыл соотношение между корнями и дискриминантом [b2 – 4ac] квадратного уравнения, а именно, что уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет равные действительные, разные действительные или комплексно сопряженные корни в зависимости оттого, будет ли дискриминант b2 – 4ac равен нулю, больше или меньше нуля. В 1799 К.Фридрих Гаусс (1777–1855) доказал т.н. основную теорему алгебры: каждый многочлен n-й степени имеет ровно n корней.
- Один начинающий волшебник, герой шуточной песенки, неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо утюга – слон. Чтобы решать уравнения, нужно совершать ряд преобразований, и делать это следует очень осмотрительно.
Например, решая уравнения, мы могли бы рассуждать так: (слайд №13). На самом деле, стараясь «избавиться от всего лишнего», мы допустили бы ошибки. Какие?
- В результате неравносильных преобразований в уравнении 1 потерян корень х=0, а в примере 2 появился «посторонний» корень х=1.
- Как же не попасть в подобные ловушки?
- Прежде всего нужно четко понимать, какие действия нужно выполнять в ходе решения уравнения.
- Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему изученные виды, методы и приемы решения квадратных уравнений.
2. Актуализация опорных знаний и умений.
Устная разминка.
Учащиеся садятся по группам, выбрав одно из предложенных уравнений, в зависимости от вида уравнений. Затем объясняют принцип посадки в группы. (1 – полные квадратные уравнений, 2 – приведенные квадратные уравнения, 3, 4, 5 – неполные квадратные, 6 – линейные уравнения)
Задание 1. Провести классификацию уравнений по виду.(слайд №14)
В результате выполнения задания получилась Схема №1 Классификация уравнений по виду.(слайд 15)
III.Систематизация знаний и способов действий.
3. Проверка уровня восприятия и осмысления учащимися материала.
Цель: проверить навыки решения простейших уравнений по теме урока.
Работа в парах Тест №1 (с взаимопроверкой). (слайд №16 ответы).
4. Систематизация полученных знаний.
Цель: установить связи между корнями квадратных уравнений и их коэффициентами.
Работа в группах Схема 2 Связь между корнями квадратных уравнений и их коэффициентами.(слайд №17).
Знакомясь с квадратными уравнениями, вы, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое-что «скрытое» для нас уже открылось.
Наличие или отсутствие корней у квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта, который составляется из коэффициентов этого уравнения.
Корни уравнения можно находить по формуле, в которую входят коэффициенты квадратного уравнения.
Создание проблемной ситуации (слайд 18)
Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? (теорема Виета),
Мини соревнование:
Задание . Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета.
Время ограничено (1 мин.)
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) .
Проверка
Ответы: 1) 3;4; 2) 1;10; 3) 3;7; 4) 1;4; 5) –2;-3; 6) –3;-4; 7) –10;-2; 8) –7;-6; 9) –3;2; 10) –4;3; 11) –1;6; 12) –1;7; 13) –6;1; 14) –3;5; 15) 2; 16) –3; 17) 2;4; 18) 3;5; 19) 4;9; 20) –7;-3.
5. Применение полученных знаний для решения задач с практическим содержанием.
1. Один из корней квадратного уравнения равен -3. Найдите коэффициент к и второй корень уравнения х2 – 5х + к = 0. ОТВЕТ: к = -24, х2 = 8
2. Решение задачи №208 стр. 68 из учебника (Алгебра 8,авторы А.Абылкасымова и др., 2008г.) ОТВЕТ: х∙(х – 1) =156, х2 – х – 156 = 0, х1 = -13(не подх.), х2 = 12.
Контрольный тест.
Вариант 1.
1. Найти подбором корни уравнения:
а) х2-8х-9=0
1) 9 и -1; 2) -9 и 1; 3) -9 и -1; 4) 9 и 1.
б) у2+8у +15=0
1) 3 и 5; 2) 2 и 6; 3) 1 и 15; 4) -3 и -5.
2. Один из корней квадратного уравнения равен 2. Найдите второй корень уравнения: х2+ 17х – 38 =0.
1) 19; 2) 17; 3) -19; 4) -17.
3. Один из корней данного квадратного уравнения равен -3.
Найдите коэффициент b и второй корень уравнения: х2 +bх +18= 0.
1) х2= -6, b=9; 2) х2= 6, b= - 9 ; 3) х2= -6, b= -9; 4) х2= 6, b=9.
4. Один из корней данного квадратного уравнения равен - 2.
Найдите коэффициент с и второй корень уравнения: х2+5х +с=0.
1)х2 = - 3 и с= -6; 2) х2 = - 3 и с=6; 3) х2 = 3 и с=6; 4) х2 = 3 и с= -6;
Вариант 2.
1. Найти подбором корни уравнения:
а) х2-2х-15=0
1) 5 и 3; 2) -5 и 3; 3) -5 и -3; 4) 5 и -3.
б) у2+ 5у + 6=0
1) -2 и -3; 2) 2 и -3; 3) 2 и 3; 4) -2 и 3.
2. Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найдите второй корень уравнения: х2 - 21х + 54 =0.
1) -18; 2) 18; 3) -21; 4) 54.
3. Один из корней данного квадратного уравнения равен -2
Найдите коэффициент b и второй корень уравнения: х2 +bх -16= 0.
1) х2= 8, b=6; 2) х2= -8, b= - 6 ; 3) х2= 8, b= - 6; 4) х2= -8, b=6.
4. Один из корней данного квадратного уравнения равен -3.
Найдите коэффициент с и второй корень уравнения: х2-5х +с =0.
1)х2 = 8 и с= -24 ; 2) х2 = - 8 и с=24; 3) х2 = 8 и с= 24; 4) х2 =-8 и с= - 24.
Таблица правильных ответов:
Вариант 1а) 1б) 2) 3) 4)
1. 1 4 3 1 2
2. 4 1 2 3 1
Критерии оценки теста: 5 верных ответов - «5»;
4 верных ответа - «4»;
3 верных ответа - «3».
IV. Информация о домашнем задании. Подготовить одну физическую задачу, показывающую, что квадратные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций.
V. Подведение итогов урока.
6. Анализ. ()
Решение ребусов. Разгадка – ответ на вопросы:
1. Какой математик доказал теорему, выражающую связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями? (Ви ет)
2. Что надо искать прежде, чем корни квадратного уравнения? (диск рими на н т)
3. Какой математик однажды заметил что: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному»? ( Гильберт)
7. Рефлексия деятельности. (слайд № 23, 24)
Титова Е.Н.
Тип урока. Урок обобщающего повторения.
Цель урока. Обобщение, систематизация и углубление знаний учащихся по изучаемой теме.
Задачи урока:
• способствовать формированию умений применять разные способы решения уравнений;
• развивать творческие способности учеников путем решения уравнений с параметром и задач на составление уравнений;
• побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Логика урока. 1) Мотивация.
2) Актуализация опорных знаний и умений.
3) Проверка уровня восприятия и осмысления учащимися материала.
4) Систематизация полученных знаний.
5) Применение полученных знаний для решения заданий с параметром.
6) Анализ.
7) Рефлексия.
Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки со схемами, тестовые задания, ребусы, листы оценивания.
Ход урока.
I. Организация начала занятия.
1. Оргмомент.
2. Постановка цели урока, определение задач урока.
(слайды № 1,2,3,4)
II. Подготовка учащихся к активной учебно-познавательной деятельности.
1. Мотивация.
Историческая справка.(слайды 5-12)
(Презентация об истории изучения квадратных уравнений )
Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.
Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax2 = c и ax2 + bx = c и привел методы их решения.
Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. и китайские математики примерно со II века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения.
Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).
В 16 в. итальянские математики Н.Тарталья (1499–1577), С.Даль Ферро (1465–1526), Л.Феррари (1522–1565) и Д.Кардано (1501–1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, было введено множество символов, в том числе +, –, , , =, > и <. Самым существенным новшеством стало систематическое использование французским математиком Ф.Виетом (1540–1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Это нововведение позволило ему найти единый метод решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Затем математики обратились к уравнениям, степени которых выше четвертой. Работая над этой проблемой, Кардано, Декарт и И.Ньютон (1643–1727) опубликовали (без доказательств) ряд результатов, касающихся числа и вида корней уравнения. Ньютон открыл соотношение между корнями и дискриминантом [b2 – 4ac] квадратного уравнения, а именно, что уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет равные действительные, разные действительные или комплексно сопряженные корни в зависимости оттого, будет ли дискриминант b2 – 4ac равен нулю, больше или меньше нуля. В 1799 К.Фридрих Гаусс (1777–1855) доказал т.н. основную теорему алгебры: каждый многочлен n-й степени имеет ровно n корней.
- Один начинающий волшебник, герой шуточной песенки, неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо утюга – слон. Чтобы решать уравнения, нужно совершать ряд преобразований, и делать это следует очень осмотрительно.
Например, решая уравнения, мы могли бы рассуждать так: (слайд №13). На самом деле, стараясь «избавиться от всего лишнего», мы допустили бы ошибки. Какие?
- В результате неравносильных преобразований в уравнении 1 потерян корень х=0, а в примере 2 появился «посторонний» корень х=1.
- Как же не попасть в подобные ловушки?
- Прежде всего нужно четко понимать, какие действия нужно выполнять в ходе решения уравнения.
- Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему изученные виды, методы и приемы решения квадратных уравнений.
2. Актуализация опорных знаний и умений.
Устная разминка.
Учащиеся садятся по группам, выбрав одно из предложенных уравнений, в зависимости от вида уравнений. Затем объясняют принцип посадки в группы. (1 – полные квадратные уравнений, 2 – приведенные квадратные уравнения, 3, 4, 5 – неполные квадратные, 6 – линейные уравнения)
Задание 1. Провести классификацию уравнений по виду.(слайд №14)
В результате выполнения задания получилась Схема №1 Классификация уравнений по виду.(слайд 15)
III.Систематизация знаний и способов действий.
3. Проверка уровня восприятия и осмысления учащимися материала.
Цель: проверить навыки решения простейших уравнений по теме урока.
Работа в парах Тест №1 (с взаимопроверкой). (слайд №16 ответы).
4. Систематизация полученных знаний.
Цель: установить связи между корнями квадратных уравнений и их коэффициентами.
Работа в группах Схема 2 Связь между корнями квадратных уравнений и их коэффициентами.(слайд №17).
Знакомясь с квадратными уравнениями, вы, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое-что «скрытое» для нас уже открылось.
Наличие или отсутствие корней у квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта, который составляется из коэффициентов этого уравнения.
Корни уравнения можно находить по формуле, в которую входят коэффициенты квадратного уравнения.
Создание проблемной ситуации (слайд 18)
Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? (теорема Виета),
Мини соревнование:
Задание . Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета.
Время ограничено (1 мин.)
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) .
Проверка
Ответы: 1) 3;4; 2) 1;10; 3) 3;7; 4) 1;4; 5) –2;-3; 6) –3;-4; 7) –10;-2; 8) –7;-6; 9) –3;2; 10) –4;3; 11) –1;6; 12) –1;7; 13) –6;1; 14) –3;5; 15) 2; 16) –3; 17) 2;4; 18) 3;5; 19) 4;9; 20) –7;-3.
5. Применение полученных знаний для решения задач с практическим содержанием.
1. Один из корней квадратного уравнения равен -3. Найдите коэффициент к и второй корень уравнения х2 – 5х + к = 0. ОТВЕТ: к = -24, х2 = 8
2. Решение задачи №208 стр. 68 из учебника (Алгебра 8,авторы А.Абылкасымова и др., 2008г.) ОТВЕТ: х∙(х – 1) =156, х2 – х – 156 = 0, х1 = -13(не подх.), х2 = 12.
Контрольный тест.
Вариант 1.
1. Найти подбором корни уравнения:
а) х2-8х-9=0
1) 9 и -1; 2) -9 и 1; 3) -9 и -1; 4) 9 и 1.
б) у2+8у +15=0
1) 3 и 5; 2) 2 и 6; 3) 1 и 15; 4) -3 и -5.
2. Один из корней квадратного уравнения равен 2. Найдите второй корень уравнения: х2+ 17х – 38 =0.
1) 19; 2) 17; 3) -19; 4) -17.
3. Один из корней данного квадратного уравнения равен -3.
Найдите коэффициент b и второй корень уравнения: х2 +bх +18= 0.
1) х2= -6, b=9; 2) х2= 6, b= - 9 ; 3) х2= -6, b= -9; 4) х2= 6, b=9.
4. Один из корней данного квадратного уравнения равен - 2.
Найдите коэффициент с и второй корень уравнения: х2+5х +с=0.
1)х2 = - 3 и с= -6; 2) х2 = - 3 и с=6; 3) х2 = 3 и с=6; 4) х2 = 3 и с= -6;
Вариант 2.
1. Найти подбором корни уравнения:
а) х2-2х-15=0
1) 5 и 3; 2) -5 и 3; 3) -5 и -3; 4) 5 и -3.
б) у2+ 5у + 6=0
1) -2 и -3; 2) 2 и -3; 3) 2 и 3; 4) -2 и 3.
2. Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найдите второй корень уравнения: х2 - 21х + 54 =0.
1) -18; 2) 18; 3) -21; 4) 54.
3. Один из корней данного квадратного уравнения равен -2
Найдите коэффициент b и второй корень уравнения: х2 +bх -16= 0.
1) х2= 8, b=6; 2) х2= -8, b= - 6 ; 3) х2= 8, b= - 6; 4) х2= -8, b=6.
4. Один из корней данного квадратного уравнения равен -3.
Найдите коэффициент с и второй корень уравнения: х2-5х +с =0.
1)х2 = 8 и с= -24 ; 2) х2 = - 8 и с=24; 3) х2 = 8 и с= 24; 4) х2 =-8 и с= - 24.
Таблица правильных ответов:
Вариант 1а) 1б) 2) 3) 4)
1. 1 4 3 1 2
2. 4 1 2 3 1
Критерии оценки теста: 5 верных ответов - «5»;
4 верных ответа - «4»;
3 верных ответа - «3».
IV. Информация о домашнем задании. Подготовить одну физическую задачу, показывающую, что квадратные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций.
V. Подведение итогов урока.
6. Анализ. ()
Решение ребусов. Разгадка – ответ на вопросы:
1. Какой математик доказал теорему, выражающую связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями? (Ви ет)
2. Что надо искать прежде, чем корни квадратного уравнения? (диск рими на н т)
3. Какой математик однажды заметил что: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному»? ( Гильберт)
7. Рефлексия деятельности. (слайд № 23, 24)
Полный текст материала смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен только фрагмент материала.
На странице приведен только фрагмент материала.
Никто не решился оставить свой комментарий.
Будь-те первым, поделитесь мнением с остальными.
Будь-те первым, поделитесь мнением с остальными.