Уроки 18-19. Тригонометрические функции (обобщающее занятие)

Цель: обобщить основные тригонометрические функции.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Дайте определение функции синуса.

2. Дайте определение 1 радиана.

3. Запишите в других единицах измерения углы:

4. Найдите 

Вариант 2

1. Дайте определение функции косинуса.

2. Дайте определение 1 градуса.

3. Запишите в других единицах измерения углы:

4. Найдите 

III. Изучение нового материала

Известно, что значения тригонометрических функций не зависят от радиуса рассматриваемой окружности. Поэтому далее будет выбираться окружность единичного радиуса с центром в начале координат (числовая окружность). Пусть Рt числовой окружности получена при повороте точки Р0 (1; 0) на угол t. Тогда ордината точки Рt - синус угла t, абсцисса точки Р, - косинус угла t, т. е. у = sin t и х = cos t.

Основной особенностью и трудностью тригонометрии является значительное число формул. Нередки случаи, при которых применение правильных формул не приводит к результату. Поэтому недостаточно просто знать формулы, необходимо научиться их целесообразно и рационально использовать. В связи с этим будем повторять основные формулы тригонометрии, группируя их. Базовые формулы (которые надо помнить) будем нумеровать, остальные формулы без труда выводятся.

Функции одного угла

Из определения тригонометрических функций сразу следуют основные тригонометрические тождества:

Пример 1

Получим формулы (1), (2), четвертую и пятую.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По определению имеем:  Найдем значение выражения sin2 t + cos2 t:  (была использована теорема Пифагора а2 + b2 = с2). Формула (1) получена.

По определению  Разделим числитель и знаменатель этой дроби на с и получим:  Формула (2) доказана. Очевидно, что такая дробь существует, если cos t ≠ 0, т. е.  Аналогично выводится и формула (3).

Учитывая формулы (2) и (3), получим:  Формула существует, еслиsin t ≠ 0 и cos t ≠ 0, т. е.  где к ∈ Z. Четвертая формула доказана.

Учтем формулу (2) и получим:  (была использована формула (1)). Формула имеет смысл при  Пятая формула получена. Аналогично выводится и шестая формула.

Теперь рассмотрим использование приведенных формул. Прежде всего, эти формулы по значению одной функции угла t, позволяют найти все остальные.

Пример 2

Известно, что  Найдем другие функции угла t.

Используя формулу (1), получим:  откуда:  Так как  и в этой области sin t < 0, то решение уравнения   По формуле (2) находим  и по формуле (3) получим  Итак, имеем:  и 

Приведенные соотношения и формулы сокращенного умножения позволяют доказывать простейшие тождества.

Пример 3

Докажем, что 

Используя формулу суммы кубов и соотношение (1) получим:

Тождество доказано.

Заметим, что в выражениях, содержащих функции tg а и ctg a, удобно (используя (2), (3)) переходить к функциям sin а и cos а.

Пример 4

Докажем тождество 

Используя в левой части тождества формулу (2) и приведя дроби к общему знаменателю, разложим числитель дроби на множители и применим формулу (1), получим: 

Тождество доказано.

Пример 5

Упростим выражение 

В первой дроби заменив 1 по формуле (1), во второй дроби используя соотношение (2), получим:

Итак, выражение А = 0.

С использованием приведенных формул по известным комбинациям тригонометрических функций с учетом формул сокращенного умножения могут быть найдены их неизвестные комбинации.

Пример 6

Найдем 

Используя (2), (3), получим:  или  Тогда 

Пример 7

Построим график зависимости у(х), если  при допустимых значениях а.

Чтобы найти зависимость у(х), необходимо исключить угол а. Найдем  Видно, что а можно исключить, найдя разность  откуда у - x = 1 и у = x + 1. Теперь остается построить график линейной функции у = х +1 (прямая линия) при условии х ≥ 0 и у ≥ 0.

Детальнее рассмотрим две другие тригонометрические функции - тангенс и котангенс.

Проведем касательную t с уравнением х = 1 к единичной окружности. Рассмотрим точку Рt этой окружности и проведем прямую OPt до пересечения с прямой l в точке Тt. Найдем ординату точки Тt. Прямая ОРt проходит через точки О (0; 0) и Рt(cos a; sin a). Поэтому такая прямая имеет уравнение у = x · tg t. Абсцисса точки Тt равна 1, тогда ее ордината равна tg t. Итак, ордината точки пересечения прямых OPt и l равна тангенсу t. Поэтому прямую l называют линией тангенсов. При этом tg t имеет смысл для  т. е. в случае пересечения прямых ОР, и l.

Аналогичным образом определяют и котангенс. Проведем касательную m с уравнением у = 1 к единичной окружности. Рассмотрим точку Рt этой окружности и проведем прямую ОРt до пересечения с прямой m в точке Сt. Можно показать, что абсцисса точки пересечения прямых ОРt и m равна котангенсу t. Поэтому прямую m называют линией котангенсов. При этом ctg t имеет смысл для t ≠ пk (где к ∈ Z), т. е. в случае пересечения прямых ОРt и m.

Пример 8

Докажем тождество 

Упростим левую часть тождества, используя формулы (1)-(3), и получим: 

 Таким образом, тождество доказано.

Пример 9

Найдем все функции t, если известно, что  и: 

Сначала найдем функцию ctg t. Для этого введем новую переменную z = ctg t и получим по условию задачи квадратное уравнение  Корни этого уравнения  Тогда  Построим числовую окружность и угол 

а) Если  то угол t попадает в сектор а и -1 < ctg t < 0. Тогда подходит значение ctg t = -1/2. Легко найти функцию  Найдем все оставшиеся функции. Для этого равенство ctg t = -1/2 возведем в квадрат и получим:  или  или  или  откуда  Так как в секторе а функция sin t > 0, cos t < 0, то найдем 

б) если  то угол t попадает в сектор б и -∞ < ctg t < -1. Значит, подходит значение ctg t = -3. Найдем функцию tg t = -1/3. Далее действуем по аналогии с пунктомa: откуда 

Пример 10

Найдем наибольшее значение функции  При каких значениях t оно достигается?

Используя формулы (1)—(2), запишем функцию в виде  Разделим числитель и знаменатель этой дроби на cos4 t:  Запишем неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического чисел  (равенство достигается при a = b). Получим  Умножим обе части этого неравенства на положительное число  и получим неравенство того же знака  Поэтому значение функции  Это значение достигается при условии tg4 t = 1 илиtg t = ±1. Решения этих уравнений 

В заключение заметим, что приведенные в § 6-8 учебника многочисленные таблицы и формулы запоминать не нужно. Таблицы малоинформативны, формулы связаны с формулами приведения (и будут рассмотрены на следующем уроке) или с периодичностью тригонометрических функций (будут изучены при построении графиков функций).

IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Используя числовую окружность, дайте определение: a) sin t; б) cos t; в) tg t; г) ctgt.

2. Приведите основные формулы (1)-(3).

V. Задание на уроках

§ 6, № 1; 3; 6 (а, б); 9 (в, г); 10 (а); 12 (в, г); 13 (а); 14 (а, б); 15 (б); 18 (в); 24 (б); 29 (а); 32 (г); 34 (а, в); 38 (а); 41 (а, б);

§ 7, № 2 (а, б); 5 (а); 6 (в, г); 9 (а, в); 11 (а, б); 16 (а); 20 (а, б);

§ 8, № 1; 3; 7; 10; 12 (а); 13; 15.

VI. Задание на дом

§ 6, № 2; 4; 6 (в, г); 9 (а, б); 10 (г); 12 (а, б); 13 (б); 14 (в, г); 15 (г); 18 (г); 24 (г); 29 (б); 32 (б); 34 (б, г); 38 (б); 41 (в, г);

§ 7, № 2 (в, г); 5 (б); 6 (а, б); 9 (б, г); 11 (в, г); 16 (б);  20 (в, г);

§ 8, № 2; 4; 8; 11; 12 (б); 14; 16.

VII. Подведение итогов уроков