Конспект к уроку алгебры «Последовательности» 9 класс

Цель урока: обобщение знаний по данной теме.
Задачи:
Обучающая – закрепить умения применять формулы при решении задач и проверка прочности знаний;
Развивающая – расширить кругозор, развивать логическое мышление, вычислительных навыков и сообразительности;
Воспитывающая – прививать интерес к предмету, формировать объективность при оценке ответов товарищей.
Тип урока: контрольно-обобщающий.
Если вы хотите участвовать в большой жизни, то заполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность.
М. И. Калинин.
Ход урока.
Мотивация и сообщение темы урока.
Ребята, сегодня у нас завершающий урок по теме: Последовательности. Вы должны показать свои знания и применить эти знания на практике, при решении задач.
Применение знаний в стандартной ситуации.
Проверочная работа с взаимопроверкой.
Для данной последовательности запиши формулу n-го члена.
2; 4; 6 . . . аn=2n
1; 3; 5 . . . аn=2n-1
1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5 . . . аn=1/n 1≤ n ≤5
Запиши в виде рекуррентной формулы.
Каждый член последовательности равен разности предыдущего члена и числа 15. аn+1=аn-15
Каждый член последовательности равен произведению двух предшествующих членов. аn+1=аn ∙ аn-1
Каждый член последовательности получают путем деления предыдущего члена на 2. аn+1=a_n/2
(текст проверочной работы проектируются графопроектором на экране. И ответы проектируются).
Проверочная работа.
Для данной последовательности запиши формулу n-го члена.
2; 4; 6.
1; 3; 5.
1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5 .
Запиши в виде рекуррентной формулы:
Каждый член последовательности равен разности предыдущего члена и числа 15;
Каждый член последовательности равен произведению двух предшествующих членов;
Каждый член последовательности получают путем деления предыдущего члена на 2.
Ответы:
1. аn=2n
аn=2n-1
аn=1/n 1≤ n ≤5
1. аn+1=аn-15
аn+1=аn ∙ аn-1
аn+1=(a_n )/2
Ребята проверяют ответы друг у друга и сразу же оценивают.
«5» - 6 ответов
«4» - 5 ответов
«3» - 3, 4 ответа
«2» - до 3-х ответов.
Сообщение о числах Фибоначчи.
Леонардо Фибоначчи – великий итальянский математик. Последовательностью числе Фибоначчи называется такая последовательность, у которой член равен сумме двух предыдущих, а первые два числа последовательности 0 и 1.
аn+1=аn + аn-1
0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89 . . .
Эта последовательность имеет очень интересное свойство, как и числа арифметической и геометрической прогрессии.
аn-1 ∙ аn+1 - аn2 =±1
Н-р: 2; 3; 5 3; 5; 8
2 ∙ 5 - 32 = 1 3 ∙ 8 - 52 = - 1
(В это время один из учащихся заполняет открытый лист учета).
Применение знаний в нестандартной ситуации.
Проверка знаний определений и формул. На доске двое учащихся записывают формулы, которые нужны при решении задач с использованием арифметической и геометрической прогрессий.
Остальные учащиеся работают устно, проверяются определения арифметической и геометрической прогрессии.
Историческая справка об истории развития арифметической и геометрической прогрессиях.
Решение задач.
Устная работа:
1. определение ариф. прогрессии
2. определение геом. прогрессии
3. определить данная последовательность является ариф. или геом. прогрессией
1/4; 1/2; 1; . . . (геом. пр. q=2)
1; 1/2; 1/4; . . . (геом. пр. q=1/2)
3; 7; 11; . . . (ариф. пр. d=4)
5; 10; . . . если a3=15 (ариф. пр.d=5)
если b3=20 (геом. пр. q=2)
Задача №1.
При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 сек после начала падения?
Решение:
а1=4,9 а5=а1+4d=4,9+4∙9,8=44,1 (м)
d=9,8
a5=?
Ребята, где еще на практике можно применить способ решения задачи?
(найти глубину оврага, глубину впадины, высоты башни, высоту многоэтажного дома).
Задача №2.
В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь огородника при поливке всего огорода? Путь начинается и заканчивается у колодца.
16м 14м
2,5м

Решение:
1 грядка 14+16+2,5+16+2,5+14=65 м
2 грядка 14+2,5+16+2,5+16+2,5+2,5+14=65+5=70 м
При поливе каждой следующей грядки требуется пройти на 5 м больше.
16м 14м
2,5м 14 м
2,5м

16 м

а1=65 S30=(2 ∙ 65+5 ∙ 29)/2 ∙ 30=4125 (м)
d=5
S30=?
Ребята, летом каждый из вас может посчитать, сколько потребуется пройти километров, чтобы полить свой огород.
Задача №3.
Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если цена лошади высока, то купи ее только подковные гвозди, а лошадь получишь придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первую гвоздь дай мне 1/4 к, за второй 2к, за третий 1к и т.д.
Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что придется уплатить не более 10 руб. Насколько покупатель проторговался?
Решение:
b1= 1/4 q=2 S24= (1/4 ( 2^24-1))/(2-1)= 1/4 (2^24-1)=4194303,8 (к) ≈ 42000 (руб)
n=24
S24=?
Так, что ребята, когда будете покупать, например, куртку или шубу, не покупайте заклепки и пуговицы от них.
Задача №4 (игровая).
От стола учителя до двери 3 м. один из учеников идет от стола до двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м, второй 1/(2 ) м, третий 1/4 м и т.д., так чтобы длина следующего шага была в 2 раза меньше предыдущего. Дойдет ли ученик до двери или нет?
1 + 1/( 2 )+ 1/4+ 1/8 + . . .бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Решение:
1 + 1/( 2 )+ 1/4+ 1/8 + . . .+1/2^(n-1)
B1=1 q=1/( 2 )
Sn=(a_(1 ) (q^n-1))/(q-1) = (〖(1/2)〗^n- 1)/(1/2- 1) = 〖1- (1/2)〗^n/(1- 1/2) = 2 (〖1- (1/2)〗^n)=2- 1/2^(n-1)
При n→∞; 1/2^(n-1) →0; |q|<1
Sn=b_1/(1-q) =1/(1- (1 )/2)=2
Если выполним все условия, то не дойдем до двери.
А как нужно изменить условия, чтобы дойти до порога? (сделать первых два шага по 1 м)
Задача №5 (игровая).
Шары расположены в форме треугольника, в первом ряду – 1 шар, во второй – 2 шара и т.д

Во сколько рядов расположены 120 шаров?
Сколько шаров нужно, чтобы составить 30 рядов?
Решение:
a1=1 a2=2 d=1
S30 = (a_1+a_30)/2 ∙ 30= (1+30)/2 ∙ 30=465
S30 = (〖2a〗_1+d (n-1))/2 ∙ 30= (2 ∙ 1+1 ∙29)/2 ∙ 30=465
Ответ: 465 шаров нужно, Чтобы составить 30 рядов.
Sn =120
120= (2 ∙1+1(n-1))/2 ∙ n
(2+n-1)∙ n=240 n1=(-1+31)/2=15
n2+ n-240=0 n2=(-1-31)/2=-16 (от)
Д=1+960=961
Ответ: 15 рядов
Контроль знаний:
Контрольный тест с выбором ответа.
Взаимопроверка и выставление оценок в открытый лист учета.
Контрольный тест.
I вариант
Вырази а8 через а1 и d.
А) а8=а1+7 d
Б) а8=а1∙ d7
В) а8=а1+8 d
b2= 33; b3=44
q=?
А) 11 Б) 3/4 В) 11/3
а1=3; d=2
а5=?
А) 8 Б) 11 В) 14
-2, 1 . . . – геом. прогрессия
Найти b_12/b_6
А) - 2/33 Б) 1/32 В) 1/64
2; 7 . . . – ариф. прогрессия
Найти сумму членов с третьего по девятый включительно.
А) 198 Б) 189 В) 9 II вариант
Вырази b6 через b1 и q.
А) b6= b1+ q6
Б) b6= b1∙ q5
В) b6= b1∙ q6
а4=15; а5=10
d=?
А) 5 Б) – 5 В) 1,5
b1= 18; q=1/9
b2=?
А) 2 Б) 1/2 В) 181/9
-2, 1 . . . – ариф. прогрессия
Найти а12 – а6
А) 6 Б) 18 В) 13
32; 16 . . . – геом. прогрессия
Найти сумму членов с третьего по шестой включительно.
А) 63 Б) 48 В) 15

Ответы:
I вариант
1. А
2. В
3. Б
4. В
5. Б II вариант
1. Б
2. Б
3. А
4. Б
5. В

Подведение итогов.
Д\з. повт. п. 1, 2, 5, 7.