Математика 10 сынып. Сабақтың тақырыбы: Гармониялық пропорция және «Алтын қима» есебі

       «Гармония»  сөзі  грек  тілінен  қазақшаға  аударғанда  «қарғаша»  немесе  «құрсау»  деген   мағынаны береді. Яғни, оны екі затты байланыстыру  үшін қолданатын құрал деп түсінуімізге болады. Ал грек ақыны  Гомер өзінің шығармасында сұлу қызды  Гармония деп  атаған. Осы   екі мағынадан барып гармония сөзі сұлулық пен әдеміліктің символы ретінде  қолданылған.  Оны термин ретінде қолданып, алгебра сабағына салу Пифагор  математикасынан  басталғанын тарихтан білуге  болады.

       Пифагордың ( б.з.б. 580-500 ) және оның ізбасарларының математика,     философия, музыка  теориясы және тағы басқа ғылымдардың  дамуындағы еңбектері орасан зор және ол  еңбектер қазірдің өзінде мағынасын жоғалтпаған.

Пифагоршілдердің оқуында музыка, гармония және сан ұғымы өте тығыз байланыста  болған. Математика оларда негізгі ұстанатын  ғылымдардың бірі болды. Олар құдай – Дионис  санды  әлем реттіліктің негізіне қойған деп есептеген. Сан әлемді, оның бастамасын бейнелейді деп, ал әлем қарама –қарсылықтан тұратын жиын, сол  қарама-қарсылықты бірлікке келтіретін гармония деп санаған. Сонымен Пифагордың  анықтамасы бойынша: «Гармония қарама-қарсылықтар үйлесімі немесе келіспестер  келісімі». Мұндағы «келісім» деп (a,b) қосындағы кереғар  екі мүше  арасындағы белгілі бір  пропорциялық қатынасты ұққан. Бұл қатынас осы  замандық математика тілінде Пифагордың гармониялық пропорциясы деп аталады және былайша белгіленеді:      1        1        1       1                            2 аb

                         —  −  —  =  —  −  —   немесе  с=  ———    

                          а         с        с       b                            а+b

                                                                       мұндағы  с-гармониялық  орта.

 

      Гармониялық пропорцияны қайта өрлеу дәуірінің  ұлы данышпаны  Леонардо  да  Винчи (1452-1519)  «Алтын пропорция» деген бейнелі  ақындық  сөзбен  атаған.  Сондай-ақ бұл пропорцияны  тәңірдің немесе құдайдың  пропорциясы деп те атаған. Осы  атаулардың  түбінде  шындық бар. Өйткені табиғаттағы ең  әдемі,  ең  сымбатты  нәрселер, тіпті  адамның   бүкіл  дене  бітімі  осы  алтын  пропорцияға негізделіп  жасалған. Бұл  алтын пропорцияны әдетте  Ф  әріпімен  белгілейді.  Оның мәні:   Ф= 1,618033….

Сонымен қоса Пифагор негізінде  қабырғаларының  қатынастары  3:4:5 болатын тікбұрышты  үшбұрышты  көп қарастырған. Мұндай  ұшбұрыштарды  Иран  архитекторлары  сонау Архимедтер мен  Сассониттер  кезінің өзінде өздерінің  эллипстік куполдарын сызып салуда  қолданып  келген  және  олардың  барлығы  а²+b²=с²  теңдеуін  қанағаттандырады. Сондай  үшбұрыштарға  мысал  ретінде: 5²=4²+3²,  13²=12²+5²,  25²=24²+7²     Пифагор  осыдан  барып  өзінің  атақты теоремасын,  алтын  қиманы  және  иррационал  сандарды  ашқан.  Ал енді  мынандай  тең  бүйірлі  үшбұрышты қарастырайық: Бұрыштары 36° болатын сүйір  бұрышты  және  бұрыштары 108°,36°,36° болатын  доғал  бұрышты АВС үшбұрышы   үш  алтын қималық үшбұрышқа  бөлінген.  Олардын  қабырғалары  мынаған  тең: АД=1 ДВ=Ф, ВС=АВ=Ф+1=Ф, АС=АЕ=Ф. Тағы  бір  бұрыштары  90°,54°,36° болатын,  қабырғаларының  қатынасы  5:3:2 болатын  үшбұрыш та   өте  қызықты.  Бұл  үшбұрыштың  үлкен катетінің гипотенузаға қатынасы Ф/2-ге тең.                                                                                             Бұл  қатынастан  Ф/2= cos 36º  екені  шығады.                      

Алтын қиманың  π  сияқты әмбебап санмен байланысын көріп отырмыз. 36° -дұрыс бесбұрыштың төбелерінің бұрышы, ал 5 саны Пифагоршілдерде ең қасиетті  сан болып есептелетіні барлығымызға белгілі. Зерттеуімізде осы  5 санымен әлі талай кездесеміз және оның тірі табиғаттың құрылысында өте кең түрде қолданатынын көреміз.

       Математикалық қолданыста жиі тұтынылатын орта шамалар немесе орта мәндер деп аталатын пропорциялық қатынасты алғаш ашушы  Пифагор болған.

       Анықтама   Егер берілген а, в, с үш шама  тізбесінің  с ортаңғысы былайғы екі шеткі мүшесінің функциясы болып келсе, онда с-ны а мен в-ның  орта мәні деп атайды.

        Егер де  орта мән пропорциялық қатынас түрінде берілсе, онда мұндай пропорция  үзіліссіз пропорция  делінеді. Пифагор және оның шәкірттері үш түрлі үзіліссіз пропорцияны қарастырған. Олар: арифметикалық пропорция, геометриялық пропорция және гармониялық   пропорция деген сөздермен аталады.                                                                        a+b

• а-m=m-b  арифметикалық пропорция. Бұдан m=  ——  − арифметикалық орта.

                                                                                        2                                                                                      

• a:g=g:b – геометриялық пропорция. Бұдан g²= ab.  g=√ ab – геометриялық орта.

 

• (a-h): a =(h-b):h – гармониялық орта.

        Пифагор математикасындағы, сондай-ақ қазіргі мектеп оқуында аталмыш үш математикалық ортаның өзара қатынасын айқындап сипаттайтын мынадай теорема дәлелденеді.

       Теорема      m ,  g ,  h орта  мәндер  арасында   мынадай  қатынас орындалады.                           2аb                 а+b

                            h ≤ g ≤ m,    —— ≤ √аb ≤ ——

                                                  а+b                  2

Пифагор мектебінің  соңғы  жазылған теңсіздіктерінің дұрыстығын  геометриялық  пішіндемеге сүйеніп  дәлелдейтін болған және  де  m, g, h  орта кесінділерді салу әдісін де жетік меңгерген.

                        Берілгені: АВ-диаметр                                                                                                                            

                                                                      С-диаметрге  тірелетін бұрыш,  <С=90°

                                                                       АD=а, DВ=b        CD┴АВ,

Дәлелдеу  керек:                а+b                   2аb

                             1) ОС = —— ;  2) ЕС = ——  ;  3) ДС =√аb ;  4) СЕ ≤ ДС≤ ОС                                               

                                              2                      а+b

         Алғашқы   қойылуы  және  шешілуі  Пифагор  заманынан  бастау  алған  бұл  тарихи  айтулы  есептің  осылайша  әралуан  айшықты  сөздермен  әспеттеліп,  ұзақ  өмір  кешуінің  өзіндік  сыры  мен  себебі  мол.  Алтын  қима  немесе  гармониялық  бөлікке  қию  есебі  өнеріндегі,  ғылымдағы  және  табиғаттағы  сымбатты  сұлулықты,  сазды  сарынның  сырын  ашатын , сынды  сипаттайтын  заң  математикасы  болып  табылады. « Алтын  пропорция » ұғымы  математикалық  ойларды  логикалық  тұрғыдан  әсемдеп  әсерлеудің  басты  бір  құралы  болып  табылады.  Ғылыми  және  біліми  математикалық  кітаптардың  барлығында  «Алтын  пропорция» қатынасы  аталатын  тарихи  есеп  математиканың  атасы- Евклидтің  (б.з.б. 356-300) «Бастамалар» атты  еңбегінде  берілген  а  кесіндіні  орта  және  шеткі  қатынасты  бөлу  есебі  түрінде  былайша  баяндалған:

                     Есептің  қойылуы

                    Берілгені: АВ = а-кесінді

                                                                АВ       АС

                   Салу  керек:  АС-?   —— = ——

                                                        АС       СВ

                   Салу жоспары:                                                           Салудың орындалуы:

                     1)  АВ = а  кесіндісін  сал.             2)  АВ ┴ ВЕ  түзуін  сал.

                     3)  ВЕ = а/2  кесіндісін  сал.          4)  АЕ – гипотенуза

                     5)  ω 1 (Е,ВЕ ) шеңберін  сал.  Мұндағы  Е - центр , ВЕ – радиус

                                                                       

                                                    

                6)  ω 2 (А,АД)  шеңберін  сал.        7)  Сонда  С нүктесі  табылады.

                                                                                                       √5             а

                 АВ=а, АС=х, ВЕ=а/2  АС=RВ  АС=АД =АЕ-ДЕ = —— − (− —)=ВК

                                                                                                        2а             2

         Евклид   қойған  және  шешкен осы  салу  есебін  1000  жылдан  кейін  өмір  кешкен  ұлы  ойшыл, әрі  суретші, өнерпаз  Леонардо  да  Винчи  зерттей  отырып,  оған  «Алтын  прпорция»  деген  ат  қойғанын  жоғарыда  айтып  өттік.  Біздің  пайымдауымызша  ол  мұндай  көркеми  теңеме  сөзге  жайдан жай      келмеген.  Өйткені  көркеми  өнердің  асқан  шебері  әрі  ақыл  мен  ойдың  кені  Леонардо  да  Винчи  өзінің  шығармашылық  жұмыстарында  және  ғылыми  зерттеулерінде  сұлулықты  бейнелеген  кезде  Евклид  есебінің  шешуін  кеңінен  пайдаланып,  бұл  математикалық  пропорцияның  орасан  зор  қызмет  атқаратынын  дәл  аңғарған.  Осы  айтылған  өздік  ойымызды  айқындау  және  бекіту  үшін  Евклид  пропорциясының  алгебралық  шешуіне  тоқталғанды  жөн  деп  ойлаймыз.

                     а-х         х     

                    ——   = —   бұдан  мынадай  квадрат  теңдеу  шығады:

                       х          а

                     х² = а (а-х)  немесе  х²+ах-а²=0  осыдан

                                    а              а                 √5+1

                     х ½  = √ (—) + а² - — => х = а —— ≈ 0,6а

                                    2              2                    2

                                             √5-1                                 √5+1

         Егер  а=1  болса  φ = ——  ≈  0,6  немесе  φ = —— ≈  1,6

                                                2                                      2

 

         Бүгінгі  замандық  физика,  математика  ғылымы  мен   оқу  пәндерінде  гармониялық  тербеліс,  гармониялық  қима, гармониялық  қатар  т.с.с.  ұғыми  ойлар  кеңінен  тұтынылып,  өрістете  зерттеліп  келеді.