Урок математики для подготовки к ЕНТ

Последнее задание в отличие от предыдущего (не тестового задания) не предполагало непосредственного вычисления области определения данной функции, а требовало лишь быстрого нахождения правильного ответа.
В процессе обсуждения различных подходов к решению этого задания было выявлено, что ответы А), D) и E) следует сразу же отбросить, так как при очень больших по модулю и отрицательных значениях переменной х числитель данной дроби не имеет смысла.
Из оставшихся двух ответов C) и В) ответ В) содержит число -1, а при х = -1 знаменатель данной дроби обращается в нуль. Значит, остается признать, что верный ответ С).
После решения данного задания я, как и на других уроках, еще раз подчеркнула, что очень часто тестовые задания удается быстро решить при помощи вдумчивого и внимательного анализа имеющихся ответов, отбрасывая при каждом шаге анализа те ответы, которые явно противоречат условию задания.
Примечание. Хотелось бы задать риторический вопрос: «Что проверяет данное задание?» Ответ напрашивается сам собой - умение решать квадратное и линейное неравенства! Но ведь и без этих умений мы обошлись вполне успешно.
Следующие задания были мною запланированы не только для нахождения правильного ответа, а в большей степени для выработки навыков поиска наиболее рационального метода решения соответствующих тестовых упражнений.

III. Придумать наиболее рациональные методы решения следующих заданий.

1. Если – 4х3 + ах2 + bх + с = (2 - х)(4х2 + 1), то сумма а + b + с равна:

А) 8 В) 9 С) 10 D) 11 Е) 12
Сначала было предложено произведение (2 - х)(4х2 + 1) преобразовать в многочлен стандартного вида: -4х3 + 8х2 – х +2. Значит, а = 8, b = -1, с = 2 и а + b + с = 9.
Однако нашлось (при помощи учителя) и другое, более рациональное решение. Так как – 4х3 + ах2 + bх + с = (2 - х)(4х2 + 1), то при х = 1 имеем -4 + а + b + с = 5. Поэтому, а + b + с = 9.
Рефлексивный анализ проделанной работы показал, что второе решение оригинальнее первого, но найти его достаточно сложно. Поэтому некоторые учащиеся отдали предпочтение первому решению. Свой выбор они объяснили тем, что на экзамене нет времени искать наиболее рациональное решение.
2. Найдите количество целых решений неравенства х7(х2 + 8х+ 7) < 0 на [-6; 1].
Учащиеся предложили из промежутка [-6; 1] выделить целые числа: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1. Из этого списка по их мнению следует исключить 1, 0 и -1, так как при х = 1 х7(х2 + 8х+ 7) > 0, а при х = 0 или х = -1 это произведение х7(х2 + 8х+ 7) обращается в нуль. Все остальные числа удовлетворяют данному неравенству. Правильный ответ 5.
Примечание. При включении данного задания в процесс урока я специально не использовала предлагаемые авторами теста ответы для выбора. Мой методическое подход объясняется следующими соображениями. Возможно, что скоро и в Казахстане будут применять тестовые задания без выбора ответов (в России такие задания практикуются давно). Поэтому надо учить учащихся решать и такие (ведь некоторые из них обязательно будут учиться в России). 

IV. Письменное решение тестовых заданий.
1. Найти сумму корней или корень, если он единственный, уравнения
log3(2х2 – 2х -3) = 2 3
А) 1 В) 7 С) 4 D) 6 Е) 5
При решении повторяется формула logв а = , обращается внимание на алгоритм нахождения область определения логарифмической функции. log3(2х2 – 2х -3) = 2log3(х + 2), 2х2 – 2х -3) = (х + 2)2, 2х2 – 2х -3 = х2 + 4х + 4, х2 – 6х -7 = 0, x1 = -1, x2 = 7. При этом x1 = -1 – посторонний корень. Ответ – В). 

2. Если (х0, у0) – решение системы
, то х0 у0 равно:
А) 0,5 В) 0,125 С) 0,15 D) 0,25 Е) 0,55
Перед выполнением данного задания я обратила внимание учащихся на то, что поиск правильного ответа путем логических рассуждений в данном случае не желателен, так как предложенные ответы не значительно отличаются друг от друга, и вероятно, что будет весьма трудно отбросить посторонние ответы. Поэтому лучше всего решать это задание традиционным способом.
Данное упражнение сводится к решению следующей системы линейных уравнений с двумя переменными.
x = 0, 25, y = 0,5,x0 у0 = 0,125. 

3. Если х0 – наибольшее целое решение неравенства < 0, то (3х0 +1)(х0 +2) равно:
А) 20 В) 100 С) 68 D) 72 Е) 98
При поиске ответа мы с учащимся выяснили, что х -6 и при этом знаменатель всегда больше нуля. Поэтому сравнивать с нулем необходимо только числитель. Числитель меньше нуля при всех целых х, удовлетворяющих неравенству х < -5, и так как х -6, то наибольшее целое решение х0 = -7, (3х0 +1)(х0 + 2) = 100.
Я посчитала нужным заметить учащимся, что найденное нами решение, вероятно, самое экономное. Решение же данного неравенства традиционными методами потребует очень много времени.
Примечание. К сожалению, приходится еще раз констатировать, что данное решение ничего общего с математикой не имеет. Это лишь дань моде – гонке за тестовыми баллами. 

4. Множество решений неравенства log0.3 (7 - x) – log0.3(x - 1) 0 имеет вид:
А) (1;7) В) (1;4) С) (1;4] D) [4;7) Е) (1;4) (4;7)
При решении неравенства попутно повторяем, при каком значении а логарифмическая функция у = logax убывает (возрастает) и закрепляем алгоритм вычисления области определения логарифмической функции.
Здесь также легко установить, что х = 4 – решение данного неравенства. Поэтому, ответы В) и E) не следует рассматривать. При этом х = 2 не является решением этого неравенства. Это приводит к тому, что А) и С) – неверные ответы. Остается теперь признать, что верный ответ D).
Следует отметить, что проверка числа 2 на принадлежность множеству решений данного неравенства могла бы сразу же позволила бы выявить, что единственным решением может быть только ответ D). Но найти такое особое число сразу удается не всегда.
Примечание. Здесь также возможность применения математических знаний учащихся сведена до минимума. Все сведено к вычислению значений логарифмической функции в удачно подобранных точках в противовес исходному замыслу авторов задания – решению логарифмических неравенств. 

5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = cosx - cos3x на отрезке[0; /2].
Решение этого задания весьма простое. y = -sinx + sin3x = 2sinxcos2x. Уравнение sinxcos2x = 0 имеет три корня принадлежащие отрезку [0; /2]: 0, /4 и /2. y(0) = 2/3, y(/4) = 2 /3, y(/2) = 0. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции равны 2 /3 и 0 соответственно.

6. Найти наибольшее значение функции у = , если график функции этой функции проходит через точку М (1; )
А) В) С) Д) Е)
Можно найти сначала значение параметра а. При х = 1 и у = имеем = , а + 7 = 3, а = -4. Поэтому y = , y =  . Значит, наибольшее значение функции равно 0,5 при х = 2.
Здесь мы также показали наиболее оптимальное, по нашему мнению, решение в условиях проведения тестового экзамена.

7. Укажите уравнение, которое задает геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных точек А (-2;-4; -4) и В(-3;-1; 4)
А) x -3y - 8z – 5 = 0; В)10x + 10y + 8z + 15 = 0; С) x + y + 1 = 0;
D) 2x - 4y - 5z + 8 = 0; Е) 3x - 5y - 10z + 10 = 0.
При формулировке этого задания учащимся вновь было также предложено найти самый быстрый способ решения.
Первый способ решения опирался на следующие рассуждения. Если М(х; у; z) равноудалена от А и В, то АМ = МВ. Найдем по формуле расстояния АМ и МВ и, составив равенство АМ = МВ, найдем уравнение искомой плоскости.
Второй способ, на наш взгляд, самый короткий. Найдем координаты точки М - середины отрезка АВ. М(-2,5; -2,5; 0). Так как искомая плоскость – перпендикулярна отрезку АВ и проходит через точку М, то подставим координаты точки М в данные в ответах уравнения. При этом только плоскость, указанная в ответе А) проходит через точку М.
Здесь я еще раз подчеркнула, что в состав тестового задания входит не только само задание, но предложенные для выбора ответы. При этом анализ этих ответов на правдоподобие и на связь с условием задания или следствием из него очень часто позволяет отбросить все ответы, кроме единственного ответа - верного.
В конце урока учащимся вновь было предложено еще раз поработать устно. Было решено такое задание: «Найти первообразные следующих функций: у =е5х + ; у = cos2 3x – sin2 3x».
V. Итог урока. Учащимся выставляются оценки за работу на уроке. Домашнее задание включает в себе тестовые упражнения на процентные вычисления, на нахождение определенного интеграла, вычисление площади криволинейной трапеции. Эти материалы на данном уроке не были рассмотрены, но в будущую контрольную работе (по материалам тестов ЕНТ) их планируется включить.
В заключение хотелось бы отметить, что учитель должен одновременно рассматривать со своими учащимися, как специальные приемы решения тестовых заданий, так и обычные их математические решения с последующим выбором правильного ответа из предложенного списка. Однако не в коем случае не следует упускать из внимания тот момент, когда тестовое задание допускает решение, отличное от рассматриваемого на уроках математики. Как правило, такие решения опираются на подсказках в списке ответов и приводят к значительному сокращению времени на поиск правильного ответа. При этом не в коем случае не следует пренебрегать и обычными математическими методами, так как не всегда удается найти зацепку в списке ответов отсеивание посторонних. Впредь в своей педагогической практике я буду стараться комбинировать эти два метода, так как они органично дополняют друг друга и приносят практическую пользу учащимся.