Ответы к занимательным задачам

ВЕСЕЛАЯ РАЗМИНКА

26 учеников.

27 метров.

4 минуты.

3 стакана.

2 свечи.

а) Буквой «ь»; б) буквой «о».

4 кошки.

Одной девочке дали кролика в клетке.

Да, если по улице идут дед, его сын и внук.

 

См. № 9.

7 детей. 12.8 детей.

 

Столько же, сколько тебе.

В 3 раза.

На 9.

На 4.

2 землекопа.

2 минуты.

Взгляд.

Одна (прихлопнутая).

Ни одного (должны разлететься).

9 мальчиков (учитель — тоже человек).

2 кг.

3 кг.

Первый разбойник делит добычу на две равные с его точки зрения части, а второй выбирает любую пригля­нувшуюся ему часть.

1) первая; 2) первая.

12 косцов.

2 партии.

Спичку.

Этот человек родился 29 февраля високосного года.

Сложить материю вчетверо (пополам и еще раз попо­лам) и отрезать одну четверть:

2/3/4 = 1/6, 2/3 - 1/6 = 1/2.

3 брата, 4 сестры.

1 роза, 1 тюльпан, 1 маргаритка.

В году не более 366 дней.

Через семь с половиной суток.

Через 3, 7 и 13 дней соответственно.

Рыцари поменялись лошадьми. На лошади соперника каждый из них старался прискакать первым, чтобы собственная лошадь оказалась второй.

а) 2 минуты;

б)            3 минуты: сначала в течение одной минуты жарим
2 лепешки с одной стороны; затем одну лепешку пе­реворачиваем, а вторую снимаем и на ее место поме­щаем третью лепешку; через минуту снимаем гото­вую лепешку, переворачиваем полуготовую и
помещаем на сковородку недожаренную первую;

в)            4 минуты;

г)            5 минут.

39.          Маленький корж — на третий (красный) поднос; сред­ний корж — на второй (желтый) поднос; маленький
корж — на второй поднос; большой корж — на третий
поднос; маленький корж — на первый зеленый поднос;

средний корж — на третий поднос; маленький корж — на третий поднос.

В случае четырех коржей переносим три верхних коржа на средний поднос так, как мы это делали в случае торта из трех коржей; нижний корж перемещаем на третий поднос; переносим (как раньше) три верхних коржа на третий поднос, где уже находится нижний корж.

ЗАКОНОМЕРНОСТИ

1.            «Лишними» являются числа:

а)            11 — двузначное;

б)            3 — однозначное;

в)            36 — не оканчивается нулем;

г)            45 — не оканчивается на 2;

д)            37 — не два десятка.

2.            а) 21, 24, 27, 30;

б)            35, 40, 45, 50;

в)            27,31,35,39;

г)            19, 18, 16, 15;

д)            25, 36, 49, 64;

е)            46, 47, 48, 56;
ж) 55, 62, 69, 76;

з) 32, 24, 16, 8;

и) 400, 500, 600, 700;

к) 312,313,314,412;

л) 312, 322, 332, 412;

м) 33 (17 • 2 - 1), 65, 129, 257;

н) 13 (5+8), 21, 34, 55;

о) 48 (7 • 7-1), 63, 80, 99;

п) 216 (6 • 6 • 6), 343, 512, 729.

В алфавитном порядке слов — названий цифр.

Каждое последующее число представляет собой произ­ведение цифр предыдущего. Следовательно, заверша­ющим числом будет 8.

Нужно умножить предыдущее число на 2 и прибавить единицу: 23 • 2 + 1 = 47.

Каждый следующий мешок содержит определенную часть от первого: 60 (1), 30 (1/2), 20 (1/3), 15 (1/4), 12(1/5), 10(1/6).

Возвести в квадрат.

18 (возводится в квадрат и читается «наоборот»).

С (седьмой), В (восьмой), Д (девятый), Д (десятый).

10.          а) В этом ряду две последовательности (через одно число):

13    5   7   9 (нечетные числа) и

10 9   8  7   6 (числа от 10 в обратном порядке счета).

Продолжение ряда: 11, 5, 13, 4;

б)            16, 12, 15, 11, 14,10, 13, 9, 12, 8;

в)            Б, А, В, Б, Г, В, Д, Г, Е, Д, Ё, Е, Ж.

11.          а) 1,3, 5, 7, 9, 11, 13;

б)            1, 2, 5,6,9, 10, 13,14;

в)            29,25,21,17,13,9,5.

УПОРЯДОЧЕНИЕ

Коля.

Ваня.

а) черный — самый короткий, коричневый — самый

длинный;

б)            коричневый — самый короткий, желтый — самый
длинный;

в)            желтый — самый короткий, самый длинный определить нельзя.

4.            1) мама, сын, папа;

мама, папа, сын;

сын, мама, папа.

 

Щука.

Ваня (самый высокий), Боря, Гриша, Андрей.

Коля, Ваня, Саша.

Самая веселая — Юля; самая сильная — Соня; самая легкая Ася.

Таня и Галя.

10. Ель самая высокая, клен самый низкий.

11. Исходное положение:

заяц, белка, волк, лиса, лось, медведь.

1-е перемещение:

заяц, белка, лось, медведь, волк, лиса.

2-е перемещение:

лось, медведь, заяц, белка, волк, лиса.

3-е перемещение:

лось, медведь, волк, лиса, заяц, белка.

13. В соответствии с условием задачи заполним таблицу, оставив места для возможных перемещений сосудов:

Чтобы стакан мог оказаться между чаем и молоком, он не может переместиться на место 2, так как тогда он будет между минеральной водой и еще чем-нибудь. Значит, стакан должен занять место 4 и встать, таким образом, точно в середине. Из этого можно сделать вы­вод, что в кружке находится чай, в чашке — молоко, в стакане — кофе, в кувшине — квас.

14. Галя, Толя, Миша, Лена, Вася.

Митя, Толя, Сережа, Костя, Юра.

Из условия 1 следует, что три мальчика стоят в очере­ди в следующем порядке: Олег, Юра, Миша. Устано­вим места в очереди для Саши и Володи. Из условия 3 следует, что Саша может находиться только после Миши. По условиям 2 и 3 Володя не может находиться ни рядом с Олегом, ни рядом с Сашей. Значит, он стоит после Юры. Таким образом, мальчики стоят в очереди в следующем порядке: Олег, Юра, Володя, Миша, Саша.

Коля, Юра, Оля, Ира, Саша (решается аналогично за­даче 16).

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ

Оля и Таня варили варенье из смородины, Юля и Ира — из крыжовника.

Костя делал гирлянды из золотой бумаги, Женя — гирлянды из серебряной бумаги, Дима — хлопушки из золотой бумаги, Вадим — красные шары.

Маша — 2А, Даша — 2Б, Катя — 1А и Оля — 1А.

Миша и Дима — Лесная, 37; Коля — Лесная, 25; Саша — Цветочная, 25.

Аня выбрала пироги с вареньем, Лена — блины с ва­реньем, Ваня — пироги с капустой, Света — оладьи со сметаной.

Галя — 2 марта, Соня — 20 марта, Катя — 2 июля, Тамара — 17 мая.

Наташа вырезала квадрат из бумаги в клетку, Галя — круг из бумаги в клетку, Валя — круг из бумаги в ли­нейку, Маша — квадрат из бумаги в линейку, Лена — флажок из белой бумаги.

Саша рисовала красный тюльпан, Маша — желтый тюльпан, Катя — красную гвоздику, Валя — желтый нарцисс, Даша — синий колокольчик.

9. Аня живет на третьем этаже, Вера  —  на первом, Лиза — на втором.

Жирным шрифтом в таблице отмечены сведения, пря­мо указанные в условии задачи.

Женя прибежал первым,  Гена — вторым, Вася — третьим.

Сергей Иванов, Иван Петров, Петр Сергеев.

Марина в синем, Галя в розовом, Оля в желтом.

Женя занимается в лыжной секции, Соня — в гимна­стической, Тоня — в секции плавания.

Гриша занял первое место, Толя — второе, Юра — третье.

Клёнова   посадила   тополь,    Тополева   —    березку, Берёзкина — клен.

Отец Токарева работает плотником, Слесарева — тока­рем, Плотникова — слесарем.

У Белова рыжие волосы, у Рыжова — черные, у Черно­ва — белые.

Оля была с ведерком, Вера — с корзинкой, Таня — с лукошком.

Аркаша — брат Лены, Дима — Оли, Вова — Гали.

Аня заняла первое место, Галя — второе, Наташа — третье, Вера — четвертое.

Вова занял первое место, Боря — второе, Коля — тре­тье, Юра — четвертое.

Саша учится в третьем классе, Петя — во втором, Ваня — в первом.

Нина получила оценку 4, Аня — 5, Женя — 3.

Саша будет садоводом, Коля — комбайнером, Петя — трактористом.

В бутылке находится лимонад, в стакане — вода, в кувшине — молоко, в банке — квас.

Ваня П., Петя К., Саша В. и Коля С.

Алик Симонов, Володя Лунин, Миша Петров, Юра Ба­лашов.

Юра из Новгорода, Толя из Москвы, Алеша из Томска, Коля из Перми, Витя из Санкт-Петербурга.

Аня стала победителем олимпиады по математике, Саша — по географии, Лена — по физике, Вася — по литературе, Миша — по информатике.

Иванов — парикмахер, Петров — плотник, Сидоров — мельник, Гришин — почтальон, Алексеев — маляр.

Аня — звеньевая второго звена, Боря — бригадир, Вася — заместитель бригадира, Гриша — звеньевой третьего звена, Дина — звеньевая второго звена.

Майор — артиллерист, капитан — летчик, лейте­нант — связист, старшина — минометчик, сержант — сапер, ефрейтор — танкист. (Подсказка: в первом туре было сыграно три партии.)

У Ани белое платье и белые туфли, у Наташи зеленые туфли и синее платье, у Вали — синие туфли и зеленое платье.

При решении таких задач удобно составлять таблицу следующего вида:

Айрис — балерина. Она живет в Париже.

Андрей с Серафимой были на концерте, Женя с Поли­ной — в кино, Дима с Розой — в театре, Боря с Олей — на выставке.

Маша — рояль и английский, Оля — виолончель и не­мецкий, Лена — скрипка и французский, Валя — арфа и итальянский.

Андрей — агроном из Архангельска, Борис — бухгал­тер из Белгорода, Бронислав — аптекарь из Бобруйска.

ЗАДАЧИ О ЛЖЕЦАХ

Имеем три утверждения: 1) Вадим хочет быть агроно­мом; 2) Сергей не хочет быть агрономом; 3) Михаил не хочет быть экономистом. Пусть верно утверждение 1, тогда верно и утверждение 2. Но по условию задачи верным может быть только одно утверждение. Следо­вательно, утверждение 1 ложно, то есть Вадим не хо­чет быть агрономом. Согласно условию задачи, в этом случае одно из утверждений 2 и 3 должно быть ложно. Если предположить, что верно утверждение 2, а утвер­ждение 3 неверно, то получаем, что никто не хочет быть агрономом — противоречие условию. Если верно утверждение 3, а утверждение 2 неверно, то противо­речия нет, получаем: Вадим хочет быть экономистом, Сергей — агрономом, Михаил — трактористом.

Нет.

Александра.

У Алексеева — «5», у Васильева — «4», у Сергеева — «3».

В утверждениях не будет противоречия только в том случае, когда истинно высказывание Микулы Селяни-новича, а все остальные высказывания ложны. Побе­дителем является Добрыня Никитич.

Ни рыцарь, ни лжец не могут сказать: «Я лжец» (вы­сказав подобное утверждение, рыцарь солгал бы, а лжец изрек бы истину). Следовательно, А, кем бы он ни был, не мог сказать о себе, что он лжец. Поэтому В, утверждая, будто А назвал себя лжецом,  заведомо

лгал. Значит, В — лжец. А так как С сказал, что В лгал, когда тот действительно лгал, то С изрек истину. Следовательно, С — рыцарь. Таким образом, В — лжец, а С — рыцарь. (Установить, кем был А, не пред­ставляется возможным.)

Если туземец — абориген, то он правдив и его ответ «абориген». Если туземец является пришельцем, то он лжив и его ответ тоже «абориген». Следовательно, про­водник передал ответ без искажения, поэтому он при­надлежит к племени аборигенов.

Кем бы ни был первый старик, он ответил, что он або­риген (см. задачу 7). Значит, второй старик солгал; он является пришельцем. Третий старик сказал правду; он абориген.

Если бы звонили из А, то на вопрос: «Где?» ответили бы: «В городе А». Из В также не могли звонить, так как оба утверждения: «У нас пожар» и «В городе В» являются в этой ситуации истинными или ложными одновременно, а жители В говорят правду и ложь по­очередно. Значит, звонили из города Б. Но так как там всегда говорят неправду, то пожар не у них и не в горо­де В. Значит, пожар в А. В город А и должна выехать пожарная машина.

10. Допустим, что первое утверждение является верным. Значит, среди оставшихся 99 утверждений только одно неверное, а все остальные верные. Но любое из оставшихся утверждений противоречит первому, так как, например, во втором утверждается, что неверных утверждений ровно два, в третьем — ровно три и т. д. Проведя такие же рассуждения до 98-го утверждения включительно, придем к такому же выводу. Если же верно 99-е утверждение, то это значит, что неверных утверждений ровно 99, то есть все, кроме 99-го: 1, 2, ..., 98 и 100. Не может быть верным утверждение 100-е, так как в нем говорится о том, что все 100 утвер­ждений, а значит и само 100-е, неверны. Итак, верным является 99-е утверждение.

Попытаемся сразу определить, кто из внуков разбил чашку. Если это сделал Сережа, то его заявление 1 — ложно, а 2 — справедливо; у Васи оба заявления лож­ны; у Коли — оба справедливы. Это соответствует слу­чаю, когда Сережа — хитрец, Вася — шутник, Коля — справедливый. Проверим, нет ли других вариантов ре­шения. Предположим, что чашку разбил Вася. В этом случае Сережа один раз солгал (2) и один раз сказал правду (1); Коля также один раз солгал (6) и один раз сказал правду (5), что противоречит условию задачи. Если чашку разбил Коля, то верными являются ответы 1-4, что противоречит условию задачи. Итак, чашку разбил Сережа.

Сосуд финикийский, изготовлен в V веке.

Сергей — первый, Леонид — второй, Виктор — третий, Роман — четвертый.

ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ

1.            а) Нет, так как музыкальный инструмент понятие более широкое, чем пианино.

б)            Нет, так как надо проветривать не только классные
комнаты.

в)            Да.

г)            Нет, так как эти величины равны.

3 красных и 1 голубой.

Игорь поймал 3 пескарей, Петя — 5 окуней, Саша — одного ерша.

На Юле был розовый платок.

а) Да.

б) Не обязательно.

3 карандаша.

а) 6 шаров; б) 4 шара; в) 7 шаров; г) 5 шаров.

а) 3 конфеты; б) 5 конфет.

3 носка.

10.          а) 13;

б) 17.

Рассмотрим самый «неблагоприятный» случай: школь­ники собрали по 7 ящиков яблок, груш и слив; всего использован 21 ящик. В свободный ящик можно поло­жить яблоки, груши или сливы. Следовательно, име­ется по крайней мере 7 + 1 = 8 ящиков, содержимое ко­торых — один из указанных видов фруктов.

Рассмотрим возможные варианты.

Пусть остался 1-й ящик. Тогда масса гвоздей в осталь­ных ящиках: 7 + 8 + 9 +10 + 11 = 45 (кг). Но 45 не де­лится на 2. Значит, оставшиеся гвозди нельзя разде­лить пополам, не вскрывая ящики. Рассуждая аналогично, устанавливаем, что не могут остаться 3-й или 5-й ящики.

Пусть остался 2-й ящик. Тогда в остальных ящиках гвоздей 6 + 8 + 9 + 10 + 11 = 44 (кг). 44 : 2 = 22 (кг). Од­нако среди чисел 6, 8, 9, 10, 11 нельзя подобрать та­кие, чтобы их сумма была равна 22. Аналогично уста­навливаем, что не может остаться последний ящик. Таким образом, мы установили, что остаться может только 4-й ящик. Действительно, масса гвоздей в остальных:

6 + 7+ 8 + 10 + 11 = 42 (кг). 42 : 2 = 21 (кг); 21 = 10 + 11 = 6 + 7 + 8.

Рассуждения игрока могли быть следующими: «Черная шапочка одна. На моем сопернике белая шапочка. Сле­довательно, на мне или белая, или черная. Если бы на мне была черная шапочка, то соперник увидел бы это и безошибочно назвал цвет своей шапочки, но он мол­чит. Значит, на мне не черная шапочка. Следователь­но, на мне белая шапочка».

Цвет надетого на него капюшона может определить любой из двух гномов в синих капюшонах.

15. Всего 4 метки. Так как черных меток больше, то воз­можны только два варианта: 1) 3 черные и 1 белая; 2) все 4 черные. Если бы на ком-то была эта белая мет­ка, то трое других юношей сразу же сказали бы, что у них черная. Но ни один из них не увидел белой метки на других. Следовательно, все метки черные.

ЗАДАЧИ О ПЕРЕПРАВАХ

1.            Крестьянин может следовать одному из двух алгорит­мов:

Алгоритм 1         Алгоритм 2

крестьянин и коза-»         1) крестьянин и коза-»

крестьянина-      2) крестьянина—

крестьянин и волк-»         3) крестьянин и капуста—»

крестьянин и коза<—      4) крестьянин и коза<—

крестьянин и капуста—»   5) крестьянин и волк—»

крестьянин—     6) крестьянин*—

крестьянин и коза-»         7) крестьянин и коза—»

2.            Пусть Ml и М2 — мальчики, С1 и С2 — солдаты. Алго­
ритм переправы может быть таким:

Ml и М2-»            5) Ml и М2-»

М1<-     6) М1<-

С1-»       7) С2-»

М2<-     8) М2<-.

 

Для перевозки 5 разведчиков потребуется 20 рейсов.

См задачи 2 и 3.

Алгоритм переправы: 1)АиО->

 

 

 

2)А<-3)М-» 4)0<-

5)            А и О-».

6.            Обозначим англичан и их проводников соответственно
А1, А2, П1, П2. Алгоритм их переправы может быть
таким:

1) П1 и П2-»

2)П1<-

3) А1 и А2->

4)П2<-

5) П1 и П2->.

7.            Введем обозначения: Kl, K2, КЗ — купцы, PI, P2,
РЗ — разбойники. Алгоритм переправы может быть
таким:

Если бы все четверо подошли к одному берегу реки, то они не смогли бы без посторонней помощи переправить­ся и поставить лодку на тот же причал. Значит, люди подошли к разным берегам реки. То есть к одному бе­регу мог подойти один человек, а к противоположно­му — трое. Или к каждому берегу подошли по два че­ловека. В каждом из этих случаев решение возможно.

Введем обозначения: А — англичанин, а — его жена; Н — негр, н — его жена; И — индеец, и — его жена. Переправу можно организовать так:10.          Алгоритм переправы:

крестьянин, коза и собака—»

крестьянин и собака<—

крестьянин, собака и капуста-»

крестьянин и коза<—

крестьянин и два волка—»

крестьянин и собака*—

крестьянин, собака и коза-».

11.          Введем обозначения: Р1, Р2, РЗ, Р4 — рыцари, 01, 02,
03, 04 — оруженосцы.

Мы будем постепенно восстанавливать валерину таб­лицу 2. Заметим сначала, что каждая буква встречает­ся в каждом столбце столько же раз, сколько раз она встречается в слове. Во втором столбце буквы слова стоят в алфавитном порядке: