Главное меню

  • К списку уроков
Уроки 70-71. Уравнение касательной к графику функции
09.07.2015 1868 0

Цель: получить уравнение касательной к графику функции.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

 

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Найдите производную функции у = 3х4 – 2 cos x.

Ответ: 

2. Вычислите значение производной функции  в точке х = π.

Ответ: 

3. Решите уравнение y’(x) = 0, если 

Ответ: 

 

Вариант 2

1. Найдите производную функции у = 5хб + 3 sin x.

Ответ: 

2. Вычислите значение производной функции  в точке х = π.

Ответ: 

3. Решите уравнение y’(х) = 0, если 

Ответ: 

 

 

III. Изучение нового материала

Наконец перейдем к заключительному этапу изучения производной и рассмотрим на оставшихся занятиях применение производной. На этом занятии обсудим касательную к графику функции.

Понятие касательной уже рассматривалось ранее. Было показано, что график дифференцируемой в точке а функции f(х) вблизи а практически не отличается от графика касательной, а значит, он близок к секущей, проходящей через точки (а; f(а)) и (а + Δх; f(а + Δх)). Любая из таких секущих проходит через точку М(а; f(а)). Чтобы написать уравнение касательной, надо задать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент секущей Δfx при Δх  0 стремится к числу f'(а), которое является угловым коэффициентом касательной. Поэтому говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Δх  0.

 

 

Теперь получим уравнение касательной к графику функции f(х). Так как касательная является прямой и ее угловой коэффициент f'(а), то можно записать ее уравнение у =f'(a) · x + b. Найдем коэффициент b из условия, что касательная проходит через точку М(а; f(а)). Подставим координаты этой точки в уравнение касательной и получим: f(а) =f'(a) · a + b, откуда b f(а) - f'(а) · а. Теперь подставим найденное значение b в уравнение касательной и получим:  или  Это и есть уравнение касательной. Обсудим применение уравнения касательной.

 

 

Пример 1

Под каким углом синусоида  пересекает ось абсцисс в начале координат?

Угол, под которым график данной функции пересекает ось абсцисс, равен углу наклона а касательной, проведенной к графику функции f(x) в этой точке. Найдем производную:  Учитывая геометрический смысл производной, имеем:  и a = 60°.

 

Пример 2

Напишем уравнение касательной графику функции f(х) = -х2 + 4х в точке a = 1.

Найдем производную данной функции:  Вычислим значения производной f'(х) и самой функции f(x) в точке a = 1 и получим: f'(a) = f'(1) = -2 · 1 + 4 = 2 и f(a) = f(1) = -12 + 4 · 1 = 3. Подставим эти величины в уравнение касательной. Имеем: у = 2(х - 1) + 3 или у = 2х + 1.

 

 

Для наглядности на рисунке приведены график функции f(x) и касательная к этой функции. Касание происходит в точке M(1; 3).

На основе примеров 1 и 2 можно сформулировать алгоритм получения уравнения касательной к графику функции у = f(x):

1) обозначить абсциссу точки касания буквой а;

2) вычислить f(а);

3) найти f'(x) и вычислить f'(a);

4) подставить найденные числа af(a), f'(a) в формулу y = f’(a)(x a) + f(a).

 

Заметим, что изначально точка а может быть неизвестна и ее приходится искать из условий задачи. Тогда в алгоритме в п. 2 и 3 слово «вычислить» надо заменить словом «записать» (что иллюстрирует пример 3).

В примере 2 абсцисса а точки касания была задана напрямую. Во многих случаях точка касания определяется различными дополнительными условиями.

 

Пример 3

Напишем уравнения касательных, проведенных из точки A(0; 4) к графику функцииf(x) = -x2 + 2х.

 

 

Легко проверить, что точка А не лежит на параболе. Вместе с тем неизвестны точки касания параболы и касательных, поэтому для нахождения этих точек будет использовано дополнительное условие - прохождение касательных через точку А.

Предположим, что касание происходит в точке а. Найдем производную функции:  Вычислим значения производной f'(x) и самой функции f(х) в точке касания а и получим: f’(а) = -2а + 2 и f(a) = -а2 + 2а. Подставим эти величины в уравнение касательной. Имеем:  или  Это уравнение касательной.

 

Запишем условие прохождения касательной через точку А, подставив координаты этой точки. Получим: 4  или 4 = а2, откуда а = ±2. Таким образом, касание происходит в двух точках В(-2; -8) и С(2; 0). Поэтому таких касательных будет две. Найдем их уравнения. Подставим значения а = ±2 в уравнение касательной. Получим: при a = 2  или ух = -2х + 4; при a = -2  или у2 = 6х + 4. Итак, уравнения касательных у1 = -2х + 4 и у2 = 6х + 4.

 

Пример 4

Найдем угол между касательными, используя условия предыдущей задачи.

Проведенные касательные у1 = -2х + 4 и у2 = 6х + 4 составляют с положительным направлением оси абсцисс углы а1 и а2 (причем tg a1= -2 и tg a2 = 6) и между собой угол φ = a1 - а2. Найдем, используя известную формулу,  откуда φ = arctg 8/11.

Пример 5

Напишем уравнение касательной к графику функции  параллельной прямой у = -х + 2.

 

 

Две прямые параллельны друг другу, если они имеют равные угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой у = -х + 2 равен -1, угловой коэффициент искомой касательной равен f’(a), где a - абсцисса точки касания. Поэтому для определения а имеем дополнительное условие f’(a) = -1.

Используя формулу для производной частного функций, найдем производную:  Найдем значение производной в точке a и получим: 

Получим уравнение  или (а - 2)2 = 4, или а - 2 = ±2, откуда а = 4 и а = 0. Таким образом, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи. Подставим значения а = 4 и а = 0 в уравнение касательной у = f’(a)(x - а) + f(а). При а = 4 имеем:  и касательная у1 = -(х - 4) + 3 или у1 = -х + 7. При а = 0 получим: и касательная у2 = -(х - 0) – 1 или у2 = -х - 1. Итак, уравнения касательных у1 = -х + 7 и у2 = -х - 1.

 

Заметим, что если f'(a) не существует, то касательная или не существует (как у функции f(х) = |х| в точке (0; 0) - рис. а, или вертикальна (как у функции  в точке (0; 0) - рис. б.

 

 

Итак, существование производной функции f(х) в точке а эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (а; f(а)) графика. При этом угловой коэффициент касательной равен f'(а). В этом заключается геометрический смысл производной.

Понятие производной позволяет проводить приближенные вычисления. Уже неоднократно отмечалось, что при Δх  0 значения функции f(x) и касательной к ней у(х) практически совпадают. Поэтому при Δх  0 поведение функции f(х) в окрестности точки х0 приближенно можно описать формулой   (фактически уравнение касательной). Эта формула с успехом используется для приближенных вычислений.

 

Пример 6

Вычислим значение функции  в точке х = 2,03.

Найдем производную данной функции: f'(х) = 12х2 - 4х + 3. Будем считать, что х = а + Δх, где а = 2 и Δх = 0,03. Вычислим значения функции и ее производной в точке а и получим:  и  Теперь определим значение функции в заданной точке х = 2,03. Имеем:  

Разумеется, приведенную формулу удобно использовать, если значения f(а) и f'(a) легко вычислить.

 

Пример 7

Вычислим 

Рассмотрим функцию  Найдем производную:  Будем считать, что х = а + Δх, где а = 8 и Δх = 0,03. Вычислим значения функции и ее производной в точке а и получим:  Теперь определим значение функции в заданной точке х = 8,03. Имеем: 

 

Пример 8

Обобщим полученный результат. Рассмотрим степенную функцию f(х) = хn и будем считать, что х = а + Δх и Δх  0. Найдем f'(х) = nхn-1 и вычислим значения функции и ее производной в точке а, получим: f(a) = an и f’(a) = nan-1. Теперь имеем формулу f(х) = аnnan-1Δх. Применим ее для вычисления числа 0,98-20. Будем считать, что a = 1, Δх = -0,02 и n = -20. Тогда получим: 

Разумеется, приведенную формулу можно использовать и для любых других функций, в частности тригонометрических.

 

 

Пример 9

Вычислим tg 48°.

Рассмотрим функцию f(x) = tg x и найдем производную:  Будем считать,   что х = a Δх, где a = 45° = π/4 и  (еще раз обратим внимание на то, что в тригонометрии углы обычно измеряют в радианах). Найдем значения функции и ее производной в точке а и получим:   Теперь вычислим  (учтено, что π = 3,14).

 

 

IV. Контрольные вопросы

1. Уравнение касательной к графику функции.

2. Алгоритм выведения уравнения касательной.

3. Геометрический смысл производной.

4. Применение уравнения касательной для приближенных вычислений.

 

V. Задание на уроках

§ 29, № 1 (а); 2 (б); 5 (а, б); 6 (в, г); 9 (а); 10 (б); 12 (г); 14 (а); 17; 21 (а); 22 (а, в); 24 (а, б); 25 (а); 26.

 

VI. Задание на дом

§ 29, № 1 (б); 2 (в); 5 (в, г); 6 (а, б); 9 (б); 10 (а); 12 (б); 14 (б); 18; 21 (в); 22 (б, г); 24 (в, г); 25 (б); 27.

 

VII. Творческие задания

1. В каких точках х касательные к графикам функций  параллельны?

Ответ: х = -1, х = 3.

2. При каких х касательные к графикам функций у = 3 cos 5x - 7 и у = 5 cos 3x + 4 параллельны?

Ответ: 

3. Под какими углами пересекаются кривые у = х2 и 

Ответ: π/2 и arctg 3/5.

4. Под какими углами пересекаются кривые у = cos x и у = sin х ?

Ответ: 

5. К параболе у = 4 - х2 в точке с абсциссой х = 1 проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью ординат.

Ответ: (0; 5).

6. К параболе у = 4х - х2 в точке с абсциссой х = 3 проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.

Ответ: (9/2; 0).

7. Найдите угол между двумя касательными, проведенными из точки (0; -2) к параболе у = х2.

Ответ: 

8. К графику функции у = 3х2 + 3х + 2 проведены касательные с угловыми коэффициентами k1 = 0 и k2 = 15. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки касания.

Ответ: у = 12х - 4.

9. Найдите уравнения прямых, касающихся одновременно парабол у = х2 + х - 2 и у = -х2 + 7х - 11.

Ответ: у = 7х - 11 и у = х - 2.

10. Напишите уравнение общей касательной к параболам у = -3х2 + 4х + 4 и у = -3х2 + 16х - 20.

Ответ: у = -2х + 7.

11. Касательная к графику функции у = х2 - 4х - 3 проведена в точке х = 0. Найдите площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.

Ответ: 9/8.

12. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции  в точке х = 2.

Ответ: 1. 

VIII. Подведение итогов уроков