Главное меню

  • К списку уроков
Уроки 67-69. Вычисление производных
09.07.2015 1018 0

Цель: изучить таблицу производных, правила дифференцирования.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

 

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Найдите производную функции f(x) = 4х - 5 в точке х0 = 3.

2. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(х) = 3 - х2 в точке а = -1.

3. Определите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону S(t) = 2t1 + 5 в момент t0 = 4.

Вариант 2

1. Найдите производную функции f(х) = 3х + 4 в точке х0 = 2.

2. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(х) = х2 + 2 в точке а = 1.

3. Определите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону S(t) = -4t2 + 3 в момент t0 = 3.

 

III. Изучение нового материала

На предыдущем занятии мы дали определение производной, объяснили ее физический и геометрический смысл. Теперь необходимо сделать следующий шаг. Для этого на сегодняшнем занятии рассмотрим формулы дифференцирования (таблицу производных) и правила дифференцирования.

1. Формулы дифференцирования (таблица производных)

Производные всех функций были получены с помощью определения производной.

Пример 1

Докажем, что f'(x) = -6х + 2, если f(х) = -3х2 + 2х.

1) Для произвольной точки х0 найдем приращение функции:

2) Определим разностное отношение:  Найдем  так как функция  Поэтомуf'(x) = -6x + 2.

 

Пример 2

Найдем производную функции 

1) Найдем приращение функции: 

2) Преобразуем это выражение, умножив и разделив его на сопряженную величину: 

3) Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента: 

4) Вычислим предел этого отношения:  Таким образом, 

 

Пример 3

Найдем производную функции f(х) = sin х.

1) Найдем приращение функции:  (была использована формула разности синусов).

2) Составим разностное отношение: 

3) Найдем производную:  Таким образом, было показано, что f'(x) = cos х.

Подобным образом можно составить таблицу производных основных функций, которая и далее будет пополняться (и ее, разумеется, надо помнить).

 

 

 

f(х)

с

х

хn

sin х

cos x

tg x

ctg x

f'(х)

0

1

nxn-1

cos x

-sin x

 

f(х)

arcsin x

arccos x

arctg x

arcctg x

f'(х)

 

 

2. Правила дифференцирования

Рассмотрим правила, по которым можно дифференцировать сумму, произведение, частное функций.

Правило 1. Если функции f(х) и g(x) дифференцируемы в точке х, то и их сумма дифференцируема в точке х, причем производная суммы равна сумме производных: 

 

Пример 4

Докажем правило 1.

1) Сумма функций f(х) и g(x) также является функцией h(x) = f(х) + g(x).

2) Найдем приращение функции h(x): 

3) Определим отношение приращения функции Δh к приращению аргумента Δх: 

4) Найдем предел этого отношения: 

5) Таким образом, показано, что 

 

Пример 5

Найдем производную функции 

Используя правило 1, получим: 

 

Правило 2. Если функция f(х) дифференцируема в точке х, то и функция kf(х) дифференцируема в точке х, причем  Другими словами, постоянный множитель к можно вынести за знак производной.

 

 

 

Пример 6

Докажем правило 2.

Используем ту же схему доказательства, как и для правила 1.

1) Произведение kf(x) также является функцией h(x) = kf(х).

2) Найдем приращение функции h(х): 

3) Определим отношение приращения функции Δh к приращению аргумента Δх: 

4) Найдем предел этого отношения: 

5) Показано, что 

 

Пример 7

Найдем производную функции:

а) Используем правило 2 и получим: 

б) Применим правила 1, 2 и получим: 

 

Правило 3. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х, то и их произведение дифференцируемо в точке х, причем  Другими словами, производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых: первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.

Это и следующие правила доказывать не будем. Данное доказательство аналогично доказательству правил 1 и 2, но технически сложнее.

 

 

Пример 8

Найдем производную функции g(x) = xtg х.

В соответствии с правилом 3 получим: 

Заметим, что правило 2 является следствием правила 3. Действительно, если функцияg(x) = k - постоянное число, то по правилу 3 получим:  - правило 2.

 

Правило 4. Если функции f(х) и g(x) дифференцируемы в точке х и в этой точке g(x) ≠ 0, то и функция f(x)/g(x) дифференцируема в точке х, причем 

 

Пример 9

Найдем производную функции 

По правилу 4 находим: 

Отметим, что правило 4 может быть использовано для нахождения производных основных изучаемых функций.

 

Пример 10

Найдем производную функции h(x) = ctg х.

Запишем функцию в виде  и используем правило 4. Получим: ---------  

Таким образом, получили, что   (см. таблицу производных).

 

 

3. Дифференцирование функции у = f(kx + m)

До сих пор рассматривались производные элементарных функций с аргументом х. Их нахождение труда не вызывает. Например, для функции у = х2 производная у' = 2х. Но для функции у = (2х + 3)2 уже возникают некоторые затруднения. Однако данное выражение можно возвести в квадрат: у - 4х2 + 12х + 9 и найти производную y’ = 4 · 2х + 12 = 4(2x + 3). Для функции у = (2x + 3)40 начинаются уже настоящие проблемы, так как возвести выражение в степень 40 нереально и применить предыдущий подход не удается. Поэтому для подобных ситуаций существует следующий алгоритм.

 

Правило 5. Производная функции f(kx m) вычисляется по формуле 

Пример 11

Найдем производную функции:

Применим правило 5.

а) В этом случае kх + m = 2х + 3, т. е. k = 2 и m = 3. Тогда получим: 

б) Имеем: kх + m = 5х – π/6, т. е. k = 5 и m = -π/6. Находим производную: 

Теперь обобщим правило 5. Дело в том, что функция f(kx m) - частный случай сложной функции, так как ее аргумент kх + m является, в свою очередь, линейной функцией переменной х.

Подавляющее большинство изучаемых функций являются сложными, например функции  Разберемся с понятием сложной функции. Начнем с примера.

 

 

Пример 12

Вычислим по заданному значению х соответствующее значение z функции h, заданной формулой  Для этого сначала вычислим по заданному значению х значение у = f(x) = 1 + x2. Потом по этому значению у найдем: 

Таким образом, функция f(х) ставит в соответствие числу х число у, а функция g(y) - числу у число z. Совокупность этих операций называют сложной функцией h(х), составленной из функций g(y) и f(х), и записывают: h(x) = g(f(х)).

 

image680

 

Чтобы вычислить значение сложной функции h(x) = g(f(x)) в произвольной точке x,сначала вычисляют значение у «внутренней» функции f в этой точке, а затем значение zфункции g.

Теперь остановимся на производной сложной функции. Для ее вычисления существует правило.

 

Правило 6. Производная сложной функции h(x) = g(f(x)) вычисляется по формуле h'(x) = g’(f(x)) · f'(x).

Пример 13

Найдем производную функции:

Используем правило 6 и получим:

 - сравните с правилом 5;

 

Пример 14

Найдем производную функции 

Функция h(у) является сложной  и  Тогда  и  Поэтому получим: 

 

Пример 15

Найдем производную функции 

Функция h(x) является сложной h(x) = g(f(х)), где g(x) = cos у и у = f(x) – 5x3 + 2x. Тогда  и g'(y) = (cos y)' = - sin у. Тогда получим: 

 

IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Производные основных функций (таблица производных).

2. Правила дифференцирования.

3. Понятие сложной функции.

4. Производная сложной функции.

 

V. Задание на уроках

§ 28, № 5 (а, б); 8 (в, г); 9 (а, б); 13 (в, г); 15 (а); 17 (а, б); 18 (в, г); 23 (а, б); 25 (а); 27 (б); 28 (а); 30 (в, г); 43 (а, б); 44 (в, г).

 

VI. Задание на дом

§ 28, № 5 (в, г); 8 (а, б); 9 (в, г); 13 (а, б); 15 (в); 17 (в, г); 18 (а, б); 23 (в, г); 25 (б); 27 (а); 28 (б); 30 (а, б); 43 (в, г); 44 (а, б).

 

VII. Творческое задание

Найдите производную сложной функции:

image682

Ответыimage683

 

VIII. Подведение итогов уроков