Главное меню

  • К списку уроков
Уроки 64-65. Предел функции
09.07.2015 1547 0

Цели: дать понятие предела функции; рассмотреть простейшие его свойства.

Ход уроков

I. Сообщение темы и целей уроков

 

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Найдите сумму геометрической прогрессии 9, 3, 1, 1/3, ....

2. Решите уравнение 2х + 4х2 + 8х3 +... = 3 (где |х| < 1).

3. Представьте в виде обыкновенной дроби 0,(16).

Вариант 2

1. Найдите сумму геометрической прогрессии 8, 3, 1/2, 1/8, ....

2. Решите уравнение 3х + 6х2 + 12х3 + ...-2 (где |х| < 1).

3. Представьте в виде обыкновенной дроби 0,(24).

 

III. Изучение нового материала

Понятие и строгое определение предела функции достаточно сложные, и многие студенты их не воспринимают и не умеют ими пользоваться. Поэтому на этом занятии мы попытаемся дать некие представления о пределе функции и его свойствах, не вводя строгого определения предела. Все-таки при этом попытаемся связать предел функции с пределом последовательности (что обсуждалось ранее).

1. Предел функции на бесконечности

Будем рассматривать поведение функции у = f(х) при х  +∞. Пусть область определения такой функции D(f) = [а; +∞). Возьмем последовательность аргументов хn = а + n (где n  N ) и соответствующую ей последовательность значений уn = f(xn) функции в этих точках. Пусть предел такой последовательности  Разумно считать, что число b является и пределом функции у = f(х) при стремлении x к плюс бесконечности. Для описания этой математической модели используют запись  При этом прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х). Другими словами, при х  +∞ значения функции у = f(х) практически равны числу b.

 

 

Пример 1

Найдем предел функции 

Рассмотрим последовательность аргументов хn = n (где n  N).

Очевидно, что при n  ∞ аргументы хn  +∞. Соответствующая последовательность значений функции имеет вид:  Предел такой последовательности легко вычисляется:   Тогда и предел данной функции 

Аналогично можно дать определение предела функции у = f(x) при х   -∞.  Пусть область определения этой функции D(f) = (-∞; а]. Рассмотрим последовательность аргументов хn = а - n (где n  N), которая при n  ∞ стремится к -∞ (т. е. хn  -∞). Возьмем соответствующую ей последовательность значений уn = fn) функции в этих точках. Пусть предел такой последовательности  Тогда будем считать, что число b является и пределом функции у = f(х) при стремлении х к минус бесконечности, т. е.  При этом прямая у = b будет горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x).

 

 

Если выполнены соотношения  то их объединяют одной записью  или еще более короткой записью   (читают: предел функции у = f(х) при стремлении х к бесконечности равен b).

 

 

Так как предел функции связан с пределом последовательности, то при вычислении подобных пределов используются аналогичные теоремы.

1) Для любого натурального показателя т справедливо соотношение 

 

2) Если  то:

а) предел суммы равен сумме пределов, т. е. 

б) предел произведения равен произведению пределов, т. е. 

в) предел частного равен частному пределов (при с ≠ 0), т. е. 

г) постоянный множитель можно вынести за знак предела, т. е. 

В силу этих теорем вычисление пределов функции похоже на вычисление пределов последовательностей.

 

Пример 2

Найдем 

Преобразуем данную функцию  Для этого выражение умножим и разделим на сопряженную величину:   Теперь легко вычислить предел функции:  Отсюда  и 

 

2. Предел функции в точке

Такое понятие характеризует поведение функции у = f(х) в окрестности точки х = а. При этом в самой точке х = а функция может и не существовать. Попробуем сформулировать понятие предела функции у = f(x) в точке х = а. Рассмотрим последовательности аргументов  которые сходятся к точке а, т. е. хn  а при n  ∞. Также рассмотрим соответствующие последовательности уn = fn) значений функции. Пусть  Тогда разумно считать, что число b является пределом функции у = f(x) в точке х = а. При этом используют запись   (читают: предел функции у = f(x) при стремлении х к а равен b).

Обсудим три часто встречающиеся ситуации (см. рисунок).

 

 

За исключением точки х = а, функции одинаковы, пределы этих функций  также равны. Отличие функций состоит в следующем: в случае а функция существует во всех точках и предел функции равен ее значению в точке а (т. е. b f(a)); в случае б функция не определена в точке а (т. е. f(a) не существует); в случае в функция определена во всех точках, но b ≠ f(a).

Таким образом, графический смысл предела заключается в следующем: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к значению х = а, то соответствующие значения функции все меньше и меньше будут отличаться от предела b.

Заметим, что положение еще сложнее. Обсудим функцию, график которой приведен на рисунке.

 

 

Функция у = f(x) определена во всех точках. Что касается предела функции, то ситуация усложняется. Видно, что при стремлении х к а слева (т. е. при х < a при стремлении х к а справа (т. е. при х > a Поэтому начинает возникать понятие одностороннего предела функции. Сейчас мы не имеем возможности углубляться в эти понятия. Однако помните, что функции и их графики могут быть очень непривычными и сложными. Чтобы их характеризовать, и приходится вводить все более и более сложные понятия.

Обсудим теперь очередное понятие - непрерывность функции y f(x) в точке х = а. Ранее мы говорили, что функция непрерывна, если ее график представляет собой сплошную линию (без разрывов, выколотых точек и т. д.). Таковой является функция а на рис. а-в.

Определение 1. Функцию у = f(x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции при стремлении хка равен ее значению в этой точке, т. е. 

 

Пример 3

Докажем, что функция у = х2 непрерывна в любой точке х = а.

Сначала найдем предел функции  Рассмотрим последовательность   (где n  N), сходящуюся к а. Тогда  так как  и  С другой стороны, f(a) = а2. Видно, что  Поэтому по определению данная функция у = x2 непрерывна в любой точке х = а.

Функция у = f(x) непрерывна на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

В курсе математического анализа доказано утверждение: если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция у = f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f(x).

Понятие непрерывности функции помогает вычислять пределы функции, так как 

 

Пример 4

Найдем 

Данная функция  определена в точке х = 1. Поэтому 

 

Пример 5

Вычислим 

Функция  определена в точке х = π/6. Получим: 

Если функция у = f(х) не определена в точке х = а, то предел функции также можно вычислить.

 

Пример 6

Найдем 

При x = 4 числитель и знаменатель функции  равны нулю, а делить на нуль нельзя. Поэтому сократим дробь:  Теперь вычислим предел этой функции:  Заметим, что выражения  совпадают при х ≠ 4. Причем для вычисления предела функции при x  4 саму точку x = 4 исключают из рассмотрения.

 

Пример 7

Вычислим 

1-й способ. Поступим аналогично предыдущему примеру и сократим дробь. Для этого числитель и знаменатель умножим на величину  Получим: 

 

2-й способ. Введем новую переменную  Тогда при х  3 величина  и х = z2 - 1. Имеем: 

При вычислении некоторых пределов полезно помнить, что  (первый замечательный предел).

 

Пример 8

Найдем 

Используем формулу понижения степени и теоремы о пределах: 

 

Пример 9

Вычислим 

Представим функцию  в виде 

При вычислении предела функции в точке, как и при вычислении предела последовательности и предела функции на бесконечности, используют теорему о пределах. Если то:

 

3. Приращение аргумента. Приращение функции

Для характеристики поведения функции у = f(x) вблизи точки х0 необходимо знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятие приращений аргумента и функции.

Определение 2. Пусть функция у = f(x) определена в точках х0 и х0 + Δх. Величину Δх называют приращением аргумента (при переходе от точки х0 к точке x0 + Δх), а разность Δf = f(х0 + Δх) - f(х0) называют приращением функции.

Обсудим геометрический смысл введенных понятий приращений аргумента и функции.

 

 

Рассмотрим график функции у = f(x) и две точки A(x0f(x0)) и B((x0 + Δх; f(x0 + Δх)), принадлежащие графику. Проведем через эти точки секущую l. В прямоугольном треугольнике ABC катеты АС = Δх и ВС = Δf Угловой коэффициент к секущей l равен tg а = Δfx. (Напомним, что угловой коэффициент прямой у = kх + b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.)

Разумеется, введенные понятия используются в физике и технике. Запишем, например, среднюю скорость движения тела за промежуток времени [t0t0 + Δt]. При движении тела по прямой средняя скорость  где x(t) - координата тела.

По аналогии со средней скоростью движения тела выражение  называют средней скоростью изменения функции f(x) на промежутке [х0; х0 + Δх].

 

Пример 10

Найдем приращения аргумента Δх и функции Δf в точке х0 = 3, если f(x) = 3х2 и:

а) х = 2,9;

б) х = 3,1.

Используя рассмотренные понятия, получим:

image664

 

Пример 11

Найдем приращение Δf функции f(х) в точке х0, если приращение аргумента равно Δх и:

image665

Используя понятие приращения функции, получим:

image666

 

Пример 12

Дан квадрат со стороной а. Найдем погрешность ΔS, допущенную при вычислении площади S = а2 этого квадрата, если погрешность при измерении стороны квадрата равна Δх.

По определению приращения аргумента х = а + Δх, тогда приращение функции 

В заключение еще раз обсудим непрерывность функции у = f(x) в точке х = а. Ранее данное определение значило, что функция непрерывна, если  Так как х а, то приращение аргумента Δх = х - а  0. При этом f(х) → f(a), т. е. приращение функции Δf = f(x) - f(а)  0 или  Заметим, что из примеров 10-12 следует, что для фиксированной точки а приращение функции Δf зависит только от приращения аргумента, т. е. Δf является функцией Δх.

Определение 3. Функция у = f(x) непрерывна в точке х = а, если при Δх = х - а  0 величина Δf = f(x) - f(a 0.

 

Пример 13

Покажем, что функция f(х) = х2 непрерывна в любой точке х - а.

Рассмотрим приращение аргумента Δх = х - а, тогда х = а + Δх. Найдем  и приращение функции  Очевидно, что  Тогда f(х) = х2 непрерывна в любой точке х = а.

 

 

IV. Контрольные вопросы

1. Понятие о пределе функции на бесконечности.

2. Предел функции в точке х = а.

3. Дайте определение приращения аргумента и приращения функции.

4. Чему равен угловой коэффициент секущей к графику функции?

5. Запишите определение средней скорости движения тела.

6. Что называют средней скоростью изменения функции?

7. Непрерывность функции в точке х = а.

8. Непрерывность функции на промежутке X.

 

V. Задание  на уроках

§ 26, № 1; 3; 5 (а, в); 7 (б, г); 8 (б); 10 (а, 6); 11; 12 (в, г); 14 (а); 15 (в, г); 17 (а, б); 18 (в); 19 (а); 21 (в, г); 23 (а); 24 (б).

 

VI. Задание на дом

§ 26, № 2; 4; 5 (б, г); 7 (а, в); 8 (г); 10 (в, г); 12 (а, б); 13; 14 (б); 15 (а, б); 17 (в, г); 18 (б); 19 (б); 21 (а, б); 23 (б); 24 (г).

 

VII. Творческое задание

Вычислите:

Ответы: image668

 

VIII. Подведение итогов уроков