Главное меню

  • К списку уроков
Урок 63. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
09.07.2015 2418 0

Цель: получить формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

 

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Определение возрастающей последовательности.

2. Последовательность (аn) задана формулой  Найдите a1a5a10.

3. Последовательность (аn) задана формулой аn+1 = 3 - 2аn, где а1 = 2 и n ≥ 1. Найдите первые четыре члена последовательности.

4. Вычислите 

 

Вариант 2

1. Определение убывающей последовательности.

2. Последовательность (аn) задана формулой  Найдите a1a5a10.

3. Последовательность (аn) задана формулой an+1 = 3аn - 2, где а1 = 2 и n ≥ 1. Найдите первые четыре члена последовательности.

4. Вычислите 

 

III. Изучение нового материала

Одной из изученных последовательностей является геометрическая прогрессия  которая рассматривалась в 9 классе. Были изучены основные свойства такой прогрессии.

Если |q| < 1, то прогрессия называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Для нее, разумеется, как и для любой геометрической прогрессии, справедливы свойства и формулы, приведенные ранее. Кроме того, можно вычислить сумму бесконечного числа членов такой профессии по формуле 

Пример 1

Найдем сумму чисел 6; 3; 3/2; ....

Данные числа образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, для которой b1 = 6 и q = 1/2. Тогда ее сумма равна 

 

 

 

Пример 2

Запишем в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(27).

Получим:   - эти дроби образуют бесконечную геометрическую прогрессию, у которой  Ее сумма равна 

Итак, 0,(27) = 3/11.

 

Пример 3

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найдем эту прогрессию.

Пусть дана прогрессия  Тогда ее сумма  Кубы членов данной прогрессии  также образуют геометрическую прогрессию с первым членом b13 и знаменателем q3. Так как при |q| < 1 величина |q3| = |q|3 < 1, то эта прогрессия также бесконечно убывающая и ее сумма  Получим систему нелинейных уравнений  Для решения этой системы возведем первое уравнение в куб:  и разделим второе уравнение системы на полученное уравнение:  или 2q2 + 5q + 2 = 0. Корни этого уравнения q = -1/2 и q= -2 (не подходит, так как прогрессия бесконечно убывающая и |q| < 1). Теперь из первого уравнения находим 

 

 

Пример 4

Сторона квадрата равна а. Середины сторон этого квадрата соединим отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с данным, и т. д. Найдем суммы сторон, периметров и площадей всех этих квадратов.

Обозначим стороны этих квадратов (начиная с данного): а, а2, а3, ... . Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC Запишем для него теорему Пифагора:  откуда  Аналогично из прямоугольного треугольника DEC находим:  и т. д.

 

 

Таким образом, стороны квадратов образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию  у которой первый член а и знаменатель  Найдем ее сумму:

Так как периметр квадрата 4а, то периметры приведенных квадратов также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 4а и знаменателем  поэтому ее сумма 

Площадь квадрата а2 и площади квадратов  образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом а2 и знаменателем 1/2, поэтому сумма площадей 

Итак, сумма сторон  периметров -  площадей - 2а2.

 

 

 

IV. Контрольные вопросы

1. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

2. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

 

V. Задание  на уроке

§ 25, № 1 (а, б); 4 (в, г);.6 (а); 7 (г); 8 (а, б); 9 (б); 10; 13 (а, б); 14 (а); 15 (в, г).

 

VI. Задание на дом

§ 25, № 1 (в, г); 4 (а, б); 6 (б); 7 (в); 8 (в, г); 9 (в); 11; 13 (в, г); 14 (б); 15 (а, б).

 

VII. Подведение итогов урока