Главное меню

  • К списку уроков
Уроки 54-55. Системы тригонометрических уравнений (факультативное занятие)
09.07.2015 1267 159

Цель: рассмотреть наиболее типичные системы тригонометрических уравнений и способы их решения.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

 

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Решите неравенство:

Вариант 2

Решите неравенство:

 

III. Изучение нового материала

На экзаменах системы тригонометрических уравнений встречаются гораздо реже тригонометрических уравнений и неравенств. Четкой классификации систем тригонометрических уравнений не существует. Поэтому условно разобьем их на группы и рассмотрим способы решения этих задач.

1. Простейшие системы уравнений

К ним отнесем системы, в которых или одно из уравнений является линейным, или уравнения системы могут быть решены независимо друг от друга.

Пример 1

Решим систему уравнений 

Так как первое уравнение является линейным, то выразим из него переменную  и подставим во второе уравнение:  Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество. Получим уравнение  или  Введем новую переменную t = sin у. Имеем квадратное уравнение 3t2 - 7t + 2 = 0, корни которого t1 = 1/3 и t2 = 2 (не подходит, так как sin у ≤ 1). Вернемся к старой неизвестной и получим уравнение sin y = 1/3, решение которого  Теперь легко найти неизвестную:  Итак, система уравнений имеет решения  где n  Z.

 

Пример 2

Решим систему уравнений 

Уравнения системы независимы. Поэтому можно записать решения каждого уравнения. Получим:  Почленно сложим и вычтем уравнения этой системы линейных уравнений и найдем:  откуда 

Обратим внимание на то, что в силу независимости уравнений при нахождении х - у и х + у должны быть указаны разные целые числа n и k. Если бы вместо k было также поставлено n, то решения имели бы вид:  При этом было бы потеряно бесконечное множество решений и, кроме того, возникла бы связь между переменными xи у: х = 3у (чего нет на самом деле). Например, легко проверить, что данная система имеет решение х = 5π и у = п (в соответствии с полученными формулами), которое при kn найти невозможно. Поэтому будьте внимательнее.

 

2. Системы вида 

Такие системы приводятся к простейшим при сложении и вычитании уравнений. При этом получим системы  или  Отметим очевидное ограничение:     и  Само же решение подобных систем сложностей не представляет.

 

Пример 3

 

Решим систему уравнений 

Преобразуем сначала второе уравнение системы, используя равенство  Получим:  Подставим в числитель этой дроби первое уравнение: и выразим  Теперь имеем систему уравнений image609 Сложим и вычтем эти уравнения. Имеем:  или  Запишем решения этой простейшей системы:  Складывая и     вычитая эти линейные уравнения, находим: 

 

3. Системы вида 

Такие системы можно рассматривать как простейшие и решать их соответствующим образом. Однако есть и другой способ решения: преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение и использовать оставшееся уравнение.

Пример 4

Решим систему уравнений 

Сначала преобразуем первое уравнение, используя формулу для суммы синусов углов. Получим:  Используя второе уравнение, имеем:  откуда  Выпишем решения этого уравнения:  С учетом второго уравнения данной системы получаем систему линейных уравнений image614 Из этой системы находим  Такие решения удобно записать в более рациональном виде. Для верхних знаков имеем:  для нижних знаков - image615

 

4. Системы вида 

Прежде всего необходимо получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Для этого, например, выразим из одного уравнения sin у, из другого - cos у. Возведем в квадрат эти соотношения и сложим. Тогда получается тригонометрическое уравнение, содержащее неизвестную х. Решаем такое уравнение. Затем, используя любое уравнение данной системы, получаем уравнение для нахождения неизвестной у.

 

Пример 5

Решим систему уравнений 

Запишем систему в виде    Возведем в квадрат каждое уравнение системы и получим:  Сложим уравнения этой системы:  или  Используя основное тригонометрическое тождество, запишем уравнение в виде  или   Решения этого уравнения cos x = 1/2 (тогда ) и cos x = 1/4 (откуда                                                  ),    где nk  Z. Учитывая связь между неизвестными cos y = 1 – 3 cos x, получим: для cos x = 1/2 cos y = -1/2; дляcos x = 1/4 cos y = 1/4. Необходимо помнить, что при решении системы уравнений проводилось возведение в квадрат и эта операция могла привести к появлению посторонних корней. Поэтому надо учесть первое уравнение данной системы, из которого следует, что величины sin x и sin у должны быть одного знака.

С учетом этого получим решения данной системы уравнений  и  где nmkl  Z. При этом для неизвестных х и у одновременно выбирают или верхние, или нижние знаки.

В частном случае  система может быть решена преобразованием суммы (или разности) тригонометрических функций в произведение и последующим почленным делением уравнений друг на друга.

 

Пример 6

Решим систему уравнений 

В каждом уравнении преобразуем сумму и разность функций в произведение и разделим каждое уравнение на 2. Получим:  Так как ни один множитель в левых частях уравнений не равен нулю, то почленно разделим уравнения друг на друга (например, второе на первое). Получим:  откуда  Подставим найденное значение  например, в первое уравнение:  Учтем, что  Тогда  откуда 

Получили систему линейных уравнений   Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем  и  где n,k   Z.

 

5. Системы, решаемые с помощью замены неизвестных

Если система содержит только две тригонометрические функции или приводится к такому виду, то удобно использовать замену неизвестных.

Пример 7

Решим систему уравнений 

Так как в данную систему входят только две тригонометрические функции, то введем новые переменные а = tg х и b sin у. Получим систему алгебраических уравнений  Из первого уравнения выразим                      а = b + 3 и подставим во второе:  или  Корни этого квадратного уравнения b1 = 1 и   b2= -4. Соответствующие значения а1 = 4 и а2 = -1. Вернемся к старым неизвестным. Получим две системы простейших тригонометрических уравнений:

а)  ее решение  где nk  Z.

б)   решений не имеет, так как sin у ≥ -1.

 

 

 

Пример 8

Решим систему уравнений 

Преобразуем второе уравнение системы так, чтобы оно содержало только функции sinх и cos у. Для этого используем формулы понижения степени. Получим:  (откуда ) и   (тогда ). Второе уравнение системы имеет вид:  или  Получили систему тригонометрических уравнений  Введем новые переменные a sin х и bcos у. Имеем симметричную систему уравнений  единственное решение которой a = b = 1/2. Вернемся к старым неизвестным и получим простейшую систему тригонометрических уравнений image618 решение которой image619 где nk  Z.

 

 

6. Системы, для которых важны особенности уравнений

Практически при решении любой системы уравнений используются те или иные ее особенности. В частности, один из наиболее общих приемов решения системы - тождественные преобразования, позволяющие получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Выбор преобразований, конечно, определяется спецификой уравнений системы.

Пример 9

Решим систему image620

Обратим внимание на левые части уравнений, например на  Используя формулы приведения, сделаем из нее функцию с аргументом π/4 + х. Получим:  Тогда система уравнений имеет вид:  Чтобы исключить переменную х, почленно умножим уравнения и получим:  или 1 = sin3 2у, откуда sin 2у = 1. Находим  и  Удобно отдельно рассмотреть случаи четных и нечетных значений n. Для четных n (n = 2k, где k  Z Тогда из первого уравнения данной системы получим:  где m  Z. Для нечетных  Тогда из первого уравнения имеем:  Итак, данная система имеет решения 

Как и в случае уравнений, достаточно часто встречаются системы уравнений, в которых существенную роль играет ограниченность функций синуса и косинуса.

 

Пример 10

 

Решим систему уравнений 

Прежде всего преобразуем первое уравнение системы:  или  или  или  или Учитывая ограниченность функции синуса, видим, что левая часть уравнения не меньше 2, а правая часть не больше 2. Поэтому такое уравнение равносильно условиям sin2 2х = 1 и sin2 у = 1.

Второе уравнение системы запишем в виде sinу = 1 - cosz или sin2 у = sin2 z, и тогда sinz = 1. Получили систему простейших тригонометрических уравнений image624 Используя формулу понижения степени, запишем систему в виде image625 или  тогда  

Разумеется, при решении других систем тригонометрических уравнений также необходимо обращать внимание на особенности этих уравнений.

Скачать материал

Полный текст материала смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен только фрагмент материала.