Главное меню

  • К списку уроков
Уроки 45-46. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение
09.07.2015 1325 0

Цель: продолжить изучение основных тригонометрических формул.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

 

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Вычислите 

Ответы: image460

2. Вычислите sin(2 arctg 3).

Ответы:

3. Упростите выражение 

Ответы: image461

4. Решите уравнение 

Ответы: 

 

Вариант 2

1. Вычислите image462

Ответы image463

2. Вычислите cos(2 arctg 4).

Ответы: image464

3. Упростите выражение image465

Ответы: image466

4. Решите уравнение image467

Ответы: image468

 

III. Изучение нового материала

Приведем следующую группу формул - формулы, с помощью которых можно преобразовать суммы тригонометрических формул в произведения:

image469

Пример 1

Выведем формулу (14).

Представим углы х и у в виде image470 воспользуемся формулами (5) и (4) и получим: image471

 

Пример 2

Преобразуем в произведение А  Сгруппируем члены этого выражения и используем приведенные формулы: 

 

Пример 3

Упростим выражение 

Воспользуемся формулами (7) и (12): 

 

Пример 4

Решим уравнение:

а) Перенесем все члены уравнения в левую часть: sin 12х - sin 2х = 0 - и преобразуем разность синусов в произведение: image476 или image477 Получим совокупность уравнений image478 и image479

б) В отличие от предыдущей задачи в данном случае функции разноименные. Поэтому используем формулу приведения  Преобразуем сумму косинусов в произведение:  или  Учтем четность функции косинуса:  Приходим к совокупности уравнений   (тогда  и ) и  (тогда ).

в) Сгруппируем члены уравнения  Преобразуем суммы синусов в произведения:  Вынесем общий множитель за скобки:  Преобразуем сумму косинусов в произведение:        Получим совокупность уравнений sin 3x = 0 (тогда ),cos 3x/2 = 0 (тогда  и ) и cos x/2 = 0 (тогда ). Заметим, что решения  можно объединить одной формулой 

 

Пример 5

Построим график уравнения: asin 2y sin 4x; б) cos у = cos х2.

Найдем более простую связь между переменными у и х. Для этого преобразуем разность тригонометрических функций в произведение,

а) Получим: sin 2y – sin 4x = 0 или 2 cos(y + 2x)sin(y - 2x) = 0. Приходим к совокупности уравнений cos(y + 2x) = 0 (тогда  и ) и sin(y - 2х) = 0 (тогда у - 2х = πn и у = 2х + πn). Таким образом, придавая n различные значения, строим два семейства прямых:   (параллельные прямые).

 

 

б) Получим: cos у - cos х2 = 0 или  Приходим к совокупности уравнений   (тогда  и ) и   (тогда  и). Строим эти семейства парабол.

 

 

 

Рассмотрим теперь метод вспомогательного угла. Он используется для преобразования выражений вида A sin x B cos x к одной тригонометрической функции. Данное выражение (обозначим его z) умножим и разделим на число  Получим:  Легко проверить, что выполняется равенство  Поэтому можно считать, что A/C и B/C — значения тригонометрических функции некоторого (вспомогательного) угла t Тогда выражение z можно записать в виде  При этом угол t можно найти из равенства  Но так как число С записывают в виде радикала, то получают равенство tg t = B/A, из которого находят угол t = arctg B/A.

Таким образом, выражение z A sin x + B cos x можно записать в виде z = C sin(x + t), где  и t = arctg B/A.

 

Пример 6

Преобразуем выражение z sin х + 2 cos х.

В данном случае коэффициенты А = 1, В = 2. Найдем число   (тогда t = arctg 2). Получим:  где t arctg 2.

Заметим, что выражение z = A sin x + B cos x можно привести и к виду   где   Для этого обозначим  и   тогда 

 

 

 

Пример 7

Преобразуем выражение z sin s + 2 cos x.

Запишем данное выражение в виде  где 

 

Пример 8

Найдем наименьшее и наибольшее значения выражения z = 3 sin x + 4 cos x + 7.

Представим выражение  в виде одного синуса. В данном случае А = 3 и В = 4. Найдем  умножим и разделим выражение  на число С. Получим:  Обозначим   (тогда ). Запишем выражение  в виде  Тогда выражение имеет вид: z = 5sin(x + t) + 7. Оценим это выражение. В силу ограниченности синуса получим неравенство  Умножим все части этого неравенства на положительное число 5 (при этом знаки неравенства сохраняются):  Ко всем частям неравенства прибавим число 7 и получим:  или  Итак, имеем:zнaим = 2 и zнaиб = 12.

 

Пример 9

Решим уравнение 

Первые два слагаемых приведем к функции косинуса. Для этого умножим и разделим их на число  Получим:  Обозначим  отсюда  Тогда уравнение имеет вид:  или  Преобразуем сумму функций в произведение:  Приходим к совокупности уравнений:  (тогда  (тогда  и ).       

 

 

IV. Контрольные вопросы

1. Формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведения (фронтальный опрос).

2. Метод вспомогательного угла.

 

V. Задание на уроках

§ 22, № 1 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 6 (а, г); 9   (а); 11 (б); 12 (а, б); 14 (а); 16 (в, г); 17 (а, б); 18 (б); 19 (а, б); 20 (а); 21      (б); 22 (а).

 

VI. Задание на дом

§ 22, № 1 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 6 (б, в); 9   (б); 11 (а); 12 (в, г); 14 (б); 16 (а, б); 17 (в, г); 18 (а); 19 (в, г); 20 (б); 21 (а); 22 (б).

 

VII. Творческие задания

1. Запишите в виде одной тригонометрической функции:

Ответы: 

2. Решите уравнение или неравенство:

image485

Ответыimage486

image487

 

VIII. Подведение итогов уроков