Главное меню

  • К списку уроков
Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции
09.07.2015 1774 0

Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

 

II. Изучение нового материала

1. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.

Пример 1

Решим уравнение: asin x = 1/2; б) sin x = а.

 

 

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x1. По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда  Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения:  где k  Z.

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде   Эти две формулы можно объединить в одну:  при этом 

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной - существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a (arcsin а) - такой угол а из промежутка , синус которого равен а, т. е. 

Арккосинус числа a (arccos а) - такой угол а из промежутка [0; π], косинус которого равен а, т. е. 

Арктангенс числа a (arctg а) - такой угол а из промежутка  тангенс которого равен а, т. е.  tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) - такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е.  ctg а = а.

 

 

Пример 2

Найдем:

Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:

 

Пример 3

Вычислим image346

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим:       Учтено, что  и cos a ≥ 0. Итак, image347

Рассмотрим более подробно свойства обратных тригонометрических функций.

 

Свойства функции

Функция

у = arcsin х

у = arccos х

у = arctg х

у = arcctg х

Областьопределения

х  [-1; 1]

х  [-1; 1]

х  (-∞; +∞)

х  (-∞ +∞)

Область значений

y  [-π/2; π/2]

y  [0; π]

y  (-π/2; π/2)

y  (0; π)

Четность

Нечетная

Ни четная, ни нечетная

Нечетная

Ни четная, ни нечетная

Нули функции (y =0)

При х = 0

При х = 1

При х = 0

у ≠ 0

Промежутки знакопостоянства

у > 0 при х (0; 1],

у < 0 при х [-1; 0)

у > 0 при х [-1; 1)

у > 0 при х (0; +∞),

у < 0 при х (-∞; 0)

у > 0 при x (-∞; +∞)

Монотонность

Возрастает

Убывает

Возрастает

Убывает

Связь с тригонометрической функцией

sin у = х

cos у = х

tg у = х

ctg у = х

График

а

б

в

г

 

 

 

Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.

 

Пример 4

Найдем область определения функции 

Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства  которое эквивалентно системе неравенств  Решением первого неравенства является промежуток х  (-∞; +∞), второго -  Этот промежуток  и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции 

 

 

 

Пример 5

Найдем область изменения функции 

Рассмотрим поведение функции z = 2х - х2 (см. рисунок).

 

 

Видно, что z  (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что  Таким образом, область изменения 

 

Пример 6

Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть  Тогдаtg а = -х или х = -tg а = tg(-a), причем  Следовательно, - a = arctg х или а = -arctg х. Таким образом, видим, что  т. е. у(х) - функция нечетная.

 

Пример 7

Выразим через все обратные тригонометрические функции 

Пусть  Очевидно, что  Тогда  Так как 

Введем угол  Так как  то 

Аналогично  поэтому  и 

 

 

 

 

Итак, image353image354

 

Пример 8

Построим график функции у = cos(arcsin х).

Обозначим а = arcsin xтогда  Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x2 + у2 = 1, и ограничения на х (х  [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos(arcsin х) является полуокружность.

 

 

Пример 9

Построим график функции у = arccos(cos x).

Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке [0; π]. Будем иметь в виду, что у = arccos(cos x= х на отрезке [0; π]; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos xтеперь легко построить график.

 

 

Отметим некоторые полезные равенства:

 

Пример 10

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции  Обозначим  тогда  Получим функцию   Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен  Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно  Таким образом,  и 

 

 

 

Пример 11

Решим уравнение 

Учтем, что   Тогда уравнение имеет вид:  или  откуда  По определению арктангенса получим: 

2. Решение простейших тригонометрических уравнений

Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.

 

Уравнение

Решение

tgx = а

ctg х = а

 

 

Пример 12

Решим уравнение 

Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде  Решения      этого уравнения:  откуда находим 

 

 

 

Пример 13

Решим уравнение 

По приведенной формуле запишем решения уравнения:  и найдем 

Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:

для уравнения sin х = 1 решения 

для уравнения sin х = 0 решения х = πk;

для уравнения sin х = -1 решения 

для уравнения cos х = 1 решения х = 2πk;

для уравнения cos х = 0 решения 

для уравнения cos х = -1 решения 

 

Пример 14

Решим уравнение 

Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение:  откуда найдем 

 

 

 

III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.

2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.

3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

 

IV. Задание на уроках

§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

 

V. Задание на дом

§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

 

VI. Творческие задания

1. Найдите область определения функции:

Ответы

image365

2. Найдите область значений функции:

Ответы:  

3. Постройте график функции:

 

VII. Подведение итогов уроков