Главное меню

  • К списку уроков
Уроки 25-26. Функции у = tg x, у = ctg x, их свойства и графики
09.07.2015 2603 0

Цель: рассмотреть графики и свойства функций у = tg х, у = ctg х.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

 

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант I

1. Как построить график функции:

image276

2. Постройте график функции:

image277

Вариант 2

1. Как построить график функции:

image278

2. Постройте график функции:

image279

 

III. Изучение нового материала

Рассмотрим две оставшиеся тригонометрические функции - тангенс и котангенс.

1. Функция у = tg x

 

 

Остановимся на графиках функций тангенса и котангенса. Сначала обсудим построение графика функции у = tg х на промежутке  Такое построение аналогично построению графика функции у = sin х, описанному ранее. При этом значение функции тангенса в точке находится с помощью линии тангенсов (см. рисунок).

 

 

Учитывая периодичность функции тангенса, получаем ее график на всей области определения параллельными переносами вдоль оси абсцисс (вправо и влево) уже построенного графика на π, 2π и т. д. График функции тангенса называют тангенсоидой.

Приведем основные свойства функции у = tg х:

1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида 

2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = -y(x)), и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция возрастает на промежутках вида image282 где к  Z.

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + пk) = у(х).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты 

 

Пример 1

Установим четность или нечетность функции:

image283

Легко проверить, что для функций а, б область определения - симметричное множество. Исследуем эти функции на четность или нечетность. Для этого найдем у(-х) и сравним значения у(х) и y(-x).

а) Получим:  Так как выполнено равенство y(-x) = у(х), то функция у(х) по определению четная.

б) Имеем: image286image288

Так как выполнено равенство y(-x) = -у(х), то функция у(х) по определению нечетная.

в) Область определения данной функции - несимметричное множество. Например, функция определена в точке х = π/4 и не определена в симметричной точке х = -π/4. Поэтому данная функция определенной четности не имеет.

 

Пример 2

Найдем основной период функции 

Данная функция у(х) представляет собой алгебраическую сумму трех тригонометрических функций, периоды которых равны: T1 = 2π,  Запишем эти числа в виде дробей с одинаковыми знаменателями  Наименьшее общее кратное коэффициентов НОК (6; 2; 3). Поэтому основной период данной функции 

 

Пример 3

Построим график функции image287

Учтем правила преобразования графиков функции. В соответствии с ними график функции  получается смещением графика функции у = tg х на π/4 единиц вправо вдоль оси абсцисс и его растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.

 

 

 

Пример 4

Построим график функции 

Используя определение и свойства модуля, в аргументе функции раскроем знаки модуля, рассмотрев три случая. Если х < 0, то имеем:  При 0 ≤ x ≤ π/4 имеем:  Для х > π/4 имеем:  Далее остается построить три части данного графика. При х < 0 строим прямую у = -1. Для 0 ≤ x ≤ π/4 строим тангенсоиду  Этот график получается смещением графика функции у = tg х на π/8 вправо вдоль оси абсцисс и сжатием в два раза вдоль этой оси. При х > π/4 строим прямую у = 1.

 

 

2. Функция у = ctg x

Аналогично графику функции у = tg х или с помощью формулы приведения image292 строится график функции у = ctg x.

 

image293

 

Перечислим основные свойства функции у = ctg x:

1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида х = пk, к  Z.

2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = -y(x)), и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция убывает на промежутках вида (пk; п + пk), к  Z.

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = п, т. е. у(х + пk) = у(x).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = пk.

 

Пример 5

Найдем область определения и область значений функции 

Очевидно, что область определения функции y(x) совпадает с областью определения функции z = ctg х, т. е. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х = nkk  Z.

Функция y(х) сложная. Поэтому запишем ее в виде  Координаты вершины параболы y(z): zB = 1 иyв = 2 - 4 + 5 = 3. Тогда область значений данной функции Е(у) = [3; +∞).

 

Пример 6

Построим график уравнения 

Из формы записи уравнения следует, что ctg(x + у) = 0 и sin х ≠ 0, cos у ≠ 0. Из уравнения ctg(x + у) = 0 находим  (где k ∈ Z) и  Построим семейство этих прямых. Теперь учтем ограничение sin х ≠ 0, откуда х ≠ πm (где m  Z). Удалим эти точки из построенных прямых (пустые точки).

 

 

Рассмотрим второе ограничение - cos у ≠ 0. Подставим в него величину  и получим:  или по формуле приведения sin х ≠ 0. Таким образом, второе ограничение свелось к первому (уже учтенному).

 

 

 

Пример 7

Построим множество точек, для которых выполнено неравенство ctg(y x) ≥ 0.

Прежде всего решим данное неравенство. Функция котангенса принимает неотрицательные значения для углов, расположенных в первой четверти, т. е. 0 < у - х ≤π/2. Учитывая периодичность функции котангенса, получим:  где k  Z. Ко всем частям этого двойного неравенства прибавим x и найдем  На координатной плоскости изобразим множество таких точек (показаны штриховкой). Стрелки указывают, что такие точки решением не являются.

 

 

IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Основные свойства и график функции у = tg х.

2. Функция у = ctg х, ее свойства и график.

 

V. Задание на уроках

§ 14, № 1; 3 (а, б); 5; 6 (в, г); 7 (а, в); 8; 10 (а, б); 11; 13 (а); 14 (б); 15 (a).

 

VI. Задание на дом

§ 14, № 2; 3 (в, г); 4; 6 (а, б); 7 (б, г); 9; 10 (в, г); 12; 13 (б); 14 (а); 15 (6).

 

VII. Творческие задания

1. Определите четность или нечетность функции:

Ответы: а, б) нечетные; в, г) четные; д-з) определенной четности не имеют.

2. Постройте график функции, уравнения или неравенства:

image297

 

VIII. Подведение итогов уроков