Главное меню

  • К списку уроков
Урок 5. Преобразования графиков с модулями (факультативное занятие)
09.07.2015 2079 0

Цель: освоить основные навыки преобразования графиков с модулями.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

 

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Как, зная график функции у = f(х), построить график функции у = f(-х) + 2?

2. Постройте график функции:

image36

Вариант 2

1. Как, зная график функции у = f(х), построить график функции у = -f(х) - 1?

2. Постройте график функции:

image37

 

III. Изучение нового материала

Из материала предыдущего урока видно, что способы преобразования графиков чрезвычайно полезны при их построении. Поэтому рассмотрим также основные способы преобразования графиков, содержащих модули. Эти способы являются универсальными и пригодны для любых функций. Для простоты построения будем рассматривать кусочно-линейную функцию f(х) с областью определения D(f), график которой представлен на рисунке. Рассмотрим три стандартных преобразования графиков с модулями.

 

 

1) Построение графика функции у = |f(x)|

f/(x), если Дх)>0,

По определению модуля получим:  Это означает, что для построения графика функции у = |f(x)| надо сохранить часть графика функции у = f(x), для которой у ≥ 0. Ту часть графика функции у = f(х), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

 

 

2) Построение графика функции у = f(|x|)

Г/О), если Дх)>0,

Раскроем модуль и получим:  Поэтому для построения графика функции у = f(|x|) надо сохранить часть графика функции у = f(х), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.

 

 

3) Построение графика уравнения |у| = f(x)

По определению модуля имеем, что при f(х) ≥ 0 надо построить графики двух функций: у = f(х) и у = -f(х). Это означает, что для построения графика уравнения |у| =f(х) надо сохранить часть графика функции у = f(х), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.

Заметим, что зависимость |у| = f(х) не задает функцию, т. е. при х  (-2,6; 1,4) каждому значению х соответствуют два значения у. Поэтому на рисунке представлен именно график уравнения |у| = f(х).

 

image40

 

Используем рассмотренные способы преобразования графиков с модулями для построения графиков более сложных функций и уравнений.

Пример 1

Построим график функции 

Выделим в этой функции целую часть  Такой график получается при смещении графика функции у = -1/x на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Графиком данной функции является гипербола.

 

 

Пример 2

Построим график функции 

В соответствии со способом 1 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Ту часть графика, для которой у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

 

 

Пример 3

Построим график функции 

Используя способ 2, сохраним часть графика из примера 1, для которой х ≥ 0. Эту сохраненную часть, кроме того, зеркально отразим влево относительно оси ординат. Получим график функции, симметричный относительно оси ординат.

 

 

Пример 4

Построим график уравнения image48

В соответствии со способом 3 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Кроме того, эту сохраненную часть симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс. Получим график данного уравнения.

 

 

Разумеется, рассмотренные способы преобразования графиков можно использовать и совместно.

 

Пример 5

Построим график функции image49

Используем график функции image50 построенный в примере 3. Чтобы построить данный график, сохраним те части графика 3, для которых у ≥ 0. Те части графика 3, для которых у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

 

 

В тех случаях, когда модули входят в зависимость иным образом (чем в способах 1-3), необходимо эти модули раскрыть.

 

Пример 6

Построим график функции 

Выражения х - 1 и x + 2, входящие под знаки модулей, меняют свои знаки в точках х = 1 и x = -2 соответственно. Отметим эти точки на координатной прямой. Они разбивают ее на три интервала. Используя определения модуля, раскроем модули в каждом промежутке.

 

 

Получим:

1. При 

2. При 

3. При 

Построим графики этих функций, учитывая интервалы для переменной х, в которых раскрывались знаки модуля. Получим ломаную прямую.

 

 

Достаточно часто при построении графиков уравнений с модулями для их раскрытия используют координатную плоскость. Поясним это следующим примером.

 

Пример 7

Построим график уравнения 

 

image53

 

Выражение у - х меняет свой знак на прямой у = х. Построим эту прямую - биссектрису первого и третьего координатных углов. Эта прямая разбивает точки плоскости на две области: 1 - точки, расположенные над прямой у – х; 2 - точки, расположенные под этой прямой. Раскроем модуль в таких областях. В области 1 возьмем, например, контрольную точку (0; 5). Видим, что для этой точки выражение у - х > 0. Раскрывая модуль, получим: у - х + у + х = 4 или y = 2. Строим такую прямую в пределах первой области. Очевидно, в области 2 выражение у - х < 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

 

IV. Контрольные вопросы

1. Как, используя график функции у = f(х), построить график функции у = |f(х)|?

2. С помощью графика функции у = f(х) постройте график функции y = f(|x|).

3. Как с помощью графика функции у = f(x) построить график уравнения |у| = f(х)?

 

V. Задание  на уроке

§ 1, № 12 (а, б); 15 (а, в).

 

VI.  Задание на дом

§ 1, № 12 (в, г); 15 (б, г).

 

VII. Творческие задания

1. Постройте график линейной функции и уравнения:

2. Постройте график квадратичной функции и уравнения:

image58

3. Постройте график дробно-линейной функции и уравнения:

4. Постройте график функции, уравнения, неравенства:

 

VIII. Подведение итогов урока